integral of e^xsqrt(e^{2x)+2e^x+5}

Lösung

\int e^{x} e^{2 x} + 2 e^{x} + 5 d x

4 (\frac{1}{8} (e^{x} + 1) 2 e^{x} + e^{2 x} + 5 + \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{x} + 1 + 2 e ^{x} + e ^{2 x} + 5}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{x} e^{2 x} + 2 e^{x} + 5 d x

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} + 2 u + 5 d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 2 u + 5 : (u + 1)^{2} + 4

= \int (u + 1)^{2} + 4 d u

Wende U-Substitution an

= \int v^{2} + 4 d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 sec^{3} (w) d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sec^{3} (w) d w

Wende integrale Reduktion an

= 4 (\frac{sec ^{2} ( w ) sin ( w )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (w) d w)

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= 4 (\frac{sec ^{2} ( w ) sin ( w )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣)

Ersetze zurück

= 4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} ( e ^{x} + 1 ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} ( e ^{x} + 1 ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} (e^{x} + 1))) + sec (arctan (\frac{1}{2} (e^{x} + 1))))

Vereinfache

4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} ( e ^{x} + 1 ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} ( e ^{x} + 1 ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} (e^{x} + 1))) + sec (arctan (\frac{1}{2} (e^{x} + 1)))) : 4 (\frac{1}{8} (e^{x} + 1) 2 e^{x} + e^{2 x} + 5 + \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{x} + 1 + 2 e ^{x} + e ^{2 x} + 5}{2}))

= 4 (\frac{1}{8} (e^{x} + 1) 2 e^{x} + e^{2 x} + 5 + \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{x} + 1 + 2 e ^{x} + e ^{2 x} + 5}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (\frac{1}{8} (e^{x} + 1) 2 e^{x} + e^{2 x} + 5 + \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{x} + 1 + 2 e ^{x} + e ^{2 x} + 5}{2})) + C

\int \frac{3}{( x - 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{25 a - a ^{3} y ^{2}} d y

\int \frac{sec ( x ) + tan ( x )}{cos ( x )} d x

\int \frac{8 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{3}} d x

\int \frac{ln ( x )}{x ^{2}} d x