integral of (4x)/(4x-2)

Lösung

\int \frac{4 x}{4 x - 2} d x

\frac{1}{2} (2 x - 1 + ln (2 ∣ 2 x - 1 ∣)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 x}{4 x - 2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{x}{4 x - 2} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{u + 2}{16 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{16} \cdot \int \frac{u + 2}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{u + 2}{u} : 1 + \frac{2}{u}

= 4 \cdot \frac{1}{16} \cdot \int 1 + \frac{2}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{16} (\int 1 d u + \int \frac{2}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{2}{u} d u = 2 ln ∣ u ∣

= 4 \cdot \frac{1}{16} (u + 2 ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 4 x - 2

ein

= 4 \cdot \frac{1}{16} (4 x - 2 + 2 ln ∣ 4 x - 2 ∣)

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{16} (4 x - 2 + 2 ln ∣ 4 x - 2 ∣) : \frac{1}{2} (2 x - 1 + ln (2 ∣ 2 x - 1 ∣))

= \frac{1}{2} (2 x - 1 + ln (2 ∣ 2 x - 1 ∣))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (2 x - 1 + ln (2 ∣ 2 x - 1 ∣)) + C

\int (x - 1)^{2} \cdot (x + 1)^{2} d x

\int \frac{3 x + 2}{x ^{2} + 3 x} d x

\int \frac{1}{x 2 + ln ( x )} d x

\int \frac{2 y ^{4} + 8 y ^{2} - 1}{y ^{3} + 4 y} d y

\int \frac{1}{( 5 + x ) 1 + x} d x