integral of sqrt(4x^2-64)

Lösung

\int 4 x^{2} - 64 d x

x x^{2} - 16 - 16 ln (\frac{1}{4} x + x^{2} - 16) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 x^{2} - 64 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 32 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 32 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 32 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 32 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 32 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 32 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{2}{8} x)

ein

= 32 (- ln tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{8} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{8} x)) tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{8} x)))

Vereinfache

32 (- ln tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{8} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{8} x)) tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{8} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{8} x))) : x x^{2} - 16 - 16 ln (\frac{1}{4} x + x^{2} - 16)

= x x^{2} - 16 - 16 ln (\frac{1}{4} x + x^{2} - 16)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x x^{2} - 16 - 16 ln (\frac{1}{4} x + x^{2} - 16) + C

\int (4 x + 2)^{3} d x

\int (x^{2} - 3)^{3} d x

\int \frac{1}{e ^{x} x} d x

\int \frac{3 x - 1}{x ^{2} + x + 1} d x

\int sin (\frac{x}{3}) cos (\frac{x}{3}) d x