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受欢迎的微积分 >

积分 1/((t^2+t+1))

解答

积分

\frac{1}{( t ^{2} + t + 1 )}

解答

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3}) + C

求解步骤

\int \frac{1}{t ^{2} + t + 1} d t

对

t^{2} + t + 1

配方:

(t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( t + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d t

使用换元积分法

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

使用换元积分法

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

代回

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (t + \frac{1}{2}))

化简

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (t + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3})

解答补常数

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 t + 1}{3}) + C

作图

流行的例子

积分 x^2e^{(x^2)/2}

in t e g r a l x^{2} e^{\frac{x ^{2}}{2}}

积分-2x^3(e^{-x})^2

in t e g r a l - 2 x^{3} (e^{- x})^{2}

积分 1/((3x))

in t e g r a l \frac{1}{( 3 x )}

积分 1/((1-x)^n)

in t e g r a l \frac{1}{( 1 - x ) ^{n}}

in t e g r a l f (x)^{2}