integral-2x^3(e^{-x})^2

Lösung

integral

- 2 x^{3} (e^{- x})^{2}

e^{- 2 x} x^{3} + \frac{3}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 1) + C

Schritte zur Lösung

\int - 2 x^{3} (e^{- x})^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 \cdot \int x^{3} (e^{- x})^{2} d x

(e^{- x})^{2} = e^{- 2 x}

= - 2 \cdot \int e^{- 2 x} x^{3} d x

Wende U-Substitution an

= - 2 \cdot \int \frac{e ^{u} u ^{3}}{16} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 \cdot \frac{1}{16} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

Wende die partielle Integration an

= - 2 \cdot \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= - 2 \cdot \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Setze in

u = - 2 x

ein

= - 2 \cdot \frac{1}{16} ((- 2 x)^{3} e^{- 2 x} - 3 ((- 2 x)^{2} e^{- 2 x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 x) - e^{- 2 x})))

Vereinfache

- 2 \cdot \frac{1}{16} ((- 2 x)^{3} e^{- 2 x} - 3 ((- 2 x)^{2} e^{- 2 x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 x) - e^{- 2 x}))) : e^{- 2 x} x^{3} + \frac{3}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 1)

= e^{- 2 x} x^{3} + \frac{3}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{- 2 x} x^{3} + \frac{3}{4} e^{- 2 x} (2 x^{2} + 2 x + 1) + C

in t e g r a l \frac{1}{( 3 x )}

in t e g r a l \frac{1}{( 1 - x ) ^{n}}

in t e g r a l f (x)^{2}

in t e g r a l \frac{x}{( 1 + x ) ^{2}}

in t e g r a l y sin (y^{2})