integral of 2/((1+x^2)^2)

Lösung

\int \frac{2}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + 10 \frac{d y}{d t} + 25 y = 0

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3} y + x y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}})

t an g e n t f (x) = x - 4, (13, 3)

t an g e n t f (x) = \frac{5}{x + 1}, at x = \frac{- 1}{3}

x \to 0 lim (\frac{0 + 5}{3 ( 0 )})