integral of 3/(x^2-3)

Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 3} d x

- 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 3} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 3} d x

Wende integrale Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{3}

ein

= 3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{x}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{3} - 1}{2}

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{x}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{3} - 1}{2} : - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{3} - 1)

= - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{3} - 1) + C

\int \frac{x}{y} + ln (z) d y

\int \frac{3 x ^{4}}{1 - 12 x ^{5}} d x

\int - \frac{7}{4 t 16 t ^{2} - 36} d t

\int (36 - x^{2}) d x

\int 2 \cdot 3^{x} d x