integral of (-5x^3)/(x^3+1)

解

\int \frac{- 5 x ^{3}}{x ^{3} + 1} d x

- 5 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x) + C

解答ステップ

\int \frac{- 5 x ^{3}}{x ^{3} + 1} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 5 \cdot \int \frac{x ^{3}}{x ^{3} + 1} d x

\frac{x ^{3}}{x ^{3} + 1} = - \frac{1}{x ^{3} + 1} + 1

= - 5 \cdot \int - \frac{1}{x ^{3} + 1} + 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - 5 (- \int \frac{1}{x ^{3} + 1} d x + \int 1 d x)

\int \frac{1}{x ^{3} + 1} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

\int 1 d x = x

= - 5 (- (\frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))) + x)

簡素化

- 5 (- (\frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))) + x) : - 5 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x)

= - 5 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x)

定数を解答に追加する

= - 5 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + x) + C