integral of cos((2pix)/L)

解

\int cos (\frac{2 π x}{L}) d x

x cos (\frac{2 π x}{L}) + \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x}{L}) - \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) - x cos (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + \frac{L}{2 π} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + C

解答ステップ

\int cos (\frac{2 π x}{L}) d x

部分積分を適用する

= x cos (\frac{2 π x}{L}) - \int - \frac{2 π}{L} x sin (\frac{2 π x}{L}) d x

\int - \frac{2 π}{L} x sin (\frac{2 π x}{L}) d x = - \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x}{L}) + \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + x cos (\frac{2 π x - L}{L} + 1) - \frac{L}{2 π} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1)

= x cos (\frac{2 π x}{L}) - (- \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x}{L}) + \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + x cos (\frac{2 π x - L}{L} + 1) - \frac{L}{2 π} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1))

簡素化

= x cos (\frac{2 π x}{L}) + \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x}{L}) - \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) - x cos (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + \frac{L}{2 π} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1)

定数を解答に追加する

= x cos (\frac{2 π x}{L}) + \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x}{L}) - \frac{π}{L} x^{2} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) - x cos (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + \frac{L}{2 π} sin (\frac{2 π x - L}{L} + 1) + C