integral of sqrt(49-4x^2)

Lösung

\int 49 - 4 x^{2} d x

\frac{49}{4} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 49 - 4 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{49}{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{49}{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{49}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{49}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{49}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{49}{2} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{7} x)

ein

= \frac{49}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x)))

Vereinfache

\frac{49}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x))) : \frac{49}{4} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x)))

= \frac{49}{4} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{49}{4} (arcsin (\frac{2}{7} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{7} x))) + C

\int \frac{1}{( x - 2 ) \cdot x + 2} d x

\int (6 x^{4} + 7 x + \frac{1}{x ^{3}}) d x

\int \frac{x ^{2} + 2 x + 2}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )} d x

\int \frac{arctan ( 5 x )}{x} d x

\int \frac{3}{2 cos ( x ) + 1} d x