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integral of e^{-kv}cos(wv)

解答

\int e^{- k v} cos (w v) d v

解答

\frac{w e ^{- k v} sin ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k v} cos ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}} + C

求解步骤

\int e^{- k v} cos (w v) d v

使用分布积分法

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - \int - k e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- k \frac{1}{w} \cdot \int e^{- k v} sin (w v) d v)

化简

- k \frac{1}{w} : - \frac{k}{w}

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k v} sin (w v) d v)

使用分布积分法

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k v} \frac{1}{w} cos (w v) - \int k e^{- k v} \frac{1}{w} cos (w v) d v))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k v} \frac{1}{w} cos (w v) - k \frac{1}{w} \cdot \int e^{- k v} cos (w v) d v))

化简

k \frac{1}{w} : \frac{k}{w}

= e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k v} \frac{1}{w} cos (w v) - \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k v} cos (w v) d v))

因此

\int e^{- k v} cos (w v) d v = e^{- k v} \frac{1}{w} sin (w v) - (- \frac{k}{w} (- e^{- k v} \frac{1}{w} cos (w v) - \frac{k}{w} \cdot \int e^{- k v} cos (w v) d v))

整理

\int e^{- k v} cos (w v) d v

= \frac{w e ^{- k v} sin ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k v} cos ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}}

解答补常数

= \frac{w e ^{- k v} sin ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}} - \frac{k e ^{- k v} cos ( w v )}{w ^{2} + k ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of-6cos(2x)

\int - 6 cos (2 x) d x

integral of e^{-(z^2)/2}

\int e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z

integral of x(1+x^2)^5

\int x (1 + x^{2})^{5} d x

integral of (sin(2x))/(2sin^2(x)+1)

\int \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ^{2} ( x ) + 1} d x

integral of (e^{-0.2x})

\int (e^{- 0.2 x}) d x