integral of e^{-(z^2)/2}

Lösung

\int e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{z}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- \frac{z ^{2}}{2}} d z

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{z ^{2}}{2} = (\frac{z}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{z}{2})^{2}} d z

Wende U-Substitution an

= \int e^{- u^{2}} 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \frac{π}{2} erf (u)

Setze in

u = \frac{z}{2}

ein

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2})

Vereinfache

2 \frac{π}{2} erf (\frac{z}{2}) : (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{z}{2})

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{z}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{z}{2}) + C

\int x (1 + x^{2})^{5} d x

\int \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ^{2} ( x ) + 1} d x

\int (e^{- 0.2 x}) d x

\int \frac{5}{x ^{2} - 16} d x

\int 10 x (1 - x)^{5} d x