integral of (x^2+y^2)^{-3/2}

Lösung

\int (x^{2} + y^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

\frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int (x^{2} + y^{2})^{- \frac{3}{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{y ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{y} x)

ein

= \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x))

Vereinfache

\frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{y ^{2} ( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int (x - 1) sin (x) d x

\int 7 x^{\frac{5}{2}} d x

\int \frac{2 x}{3 x ^{2} + 5} d x

\int 1 + 2 sin (x) d x

\int \frac{x + 4}{x ^{2} + x} d x