integral of (e^x)/(e^{2x)-4}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 4} d x

- \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 4} d x

Faktorisiere

e^{2 x} - 4 : - (- e^{2 x} + 4)

= \int \frac{e ^{x}}{- ( - e ^{2 x} + 4 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{e ^{x}}{- e ^{2 x} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 4} d u

Wende integrale Substitution an

= - \int \frac{1}{2 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= - \frac{1}{2} (\frac{ln \frac{e ^{x}}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x}}{2} - 1}{2})

Vereinfache

- \frac{1}{2} (\frac{ln \frac{e ^{x}}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x}}{2} - 1}{2}) : - \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1)

= - \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (ln \frac{e ^{x}}{2} + 1 - ln \frac{e ^{x}}{2} - 1) + C

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} arctan (x) d x

\int sec^{2} (2 x - 3) d x

\int e^{- s x} cos (a x) d x

\int \frac{x ^{2}}{3 + 4 x - 4 x ^{2}} d x

\int (e^{5 x})^{2} d x