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integral of e^{-sx}cos(ax)

Lösung

\int e^{- s x} cos (a x) d x

Lösung

\frac{a e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s x} cos (a x) d x

Wende die partielle Integration an

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - \int - s e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s x} sin (a x) d x)

Vereinfache

- s \frac{1}{a} : - \frac{s}{a}

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} sin (a x) d x)

Wende die partielle Integration an

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \int s e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) d x))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s x} cos (a x) d x))

Vereinfache

s \frac{1}{a} : \frac{s}{a}

= e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} cos (a x) d x))

Deshalb

\int e^{- s x} cos (a x) d x = e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} cos (a x) d x))

Isoliere

\int e^{- s x} cos (a x) d x

= \frac{a e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{a e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

Graph

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