integral of (x^2+3x+2)e^{2x}

解答

\int (x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} d x

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

求解步骤

\int (x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} d x

乘开

(x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} : e^{2 x} x^{2} + 3 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}

= \int e^{2 x} x^{2} + 3 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{2 x} x^{2} d x + \int 3 e^{2 x} x d x + \int 2 e^{2 x} d x

\int e^{2 x} x^{2} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

\int 3 e^{2 x} x d x = \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x})

\int 2 e^{2 x} d x = e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + e^{2 x}

化简

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + \frac{3}{4} (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + e^{2 x} : \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

解答补常数

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

\int e^{x} sec^{2} (e^{x} - 7) d x

\int 6 t e^{- \frac{t}{6}} d t

\int \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{6}} d x

\int x e^{2 x^{3}} d x

\int e^{7 x} 7 d x