integral of 1/(x^2+2x)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x} d x

- \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x : (x + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

Setze in

u = x + 1

ein

= - (\frac{ln ∣ x + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x + 1 - 1 ∣}{2})

Vereinfache

- (\frac{ln ∣ x + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x + 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + C

\int (4 - 3 sin (2 x))^{4} cos (2 x) d x

2 y y^{^{'}} + 2 = y^{2} + 2 x

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2}}{4})

n = 1 \sum \infty (- 6)^{n} x^{n}

\int \frac{x ^{2}}{1 - 2 x ^{3}} d x