inverselaplace 3/(s(s^2+2s+4))

解

逆ラプラス

\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

\frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )} : \frac{3}{4 s} + \frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s} + \frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )}}

拡張

\frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )} : - \frac{3}{4} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s} - \frac{3}{4} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s}} - \frac{3}{4} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} - \frac{3}{4} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

L^{- 1} {\frac{3}{4 s}} : \frac{3}{4} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3}{4} e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

\frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3}{4} e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}

= \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}