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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 3/(s(s^2+2s+4))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

解答

\frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}}

将

\frac{3}{s ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

用部份分式展开:

\frac{3}{4 s} + \frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s} + \frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )}}

展开

\frac{- 3 s - 6}{4 ( s ^{2} + 2 s + 4 )} : - \frac{3}{4} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s} - \frac{3}{4} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{3}{4 s}} - \frac{3}{4} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} - \frac{3}{4} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}}

L^{- 1} {\frac{3}{4 s}} : \frac{3}{4} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 3}} : e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3}{4} e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t)

整理

\frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3}{4} e^{- t} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}

= \frac{3}{4} H (t) - \frac{3}{4} e^{- t} cos (3 t) - \frac{3 e ^{- t} sin ( 3 t )}{4}

流行的例子

integral of y^{-5}

\int y^{- 5} d y

y^{^{'}} = y^{2} cos (x)

limit as x approaches-1 of (x+2x^5)^3

x \to - 1 lim ((x + 2 x^{5})^{3})

integral of (e^x-e^5)(e^x+e^{-3})

\int (e^{x} - e^{5}) (e^{x} + e^{- 3}) d x

面积 x=7y^2,x=2+5y^2

a re a x = 7 y^{2}, x = 2 + 5 y^{2}