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人気のある微分積分 >

integral of (4e^{2x})/(e^{2x)+12e^x+32}

解

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

解

4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣) + C

解答ステップ

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 32} d x

u置換積分法を適用する

= 4 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 12 u + 32} d u

平方完成する

u^{2} + 12 u + 32 : (u + 6)^{2} - 4

= 4 \cdot \int \frac{u}{( u + 6 ) ^{2} - 4} d u

u置換積分法を適用する

= 4 \cdot \int \frac{v - 6}{v ^{2} - 4} d v

以下の部分分数を得る:

\frac{v - 6}{v ^{2} - 4} : \frac{2}{v + 2} - \frac{1}{v - 2}

= 4 \cdot \int \frac{2}{v + 2} - \frac{1}{v - 2} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{2}{v + 2} d v - \int \frac{1}{v - 2} d v)

\int \frac{2}{v + 2} d v = 2 ln ∣ v + 2 ∣

\int \frac{1}{v - 2} d v = ln ∣ v - 2 ∣

= 4 (2 ln ∣ v + 2 ∣ - ln ∣ v - 2 ∣)

代用を戻す

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 6 + 2 ∣ - ln ∣ e^{x} + 6 - 2 ∣)

簡素化

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣)

定数を解答に追加する

= 4 (2 ln ∣ e^{x} + 8 ∣ - ln ∣ e^{x} + 4 ∣) + C

グラフ

人気の例

integral of (2x^2-3x+4)/(2x-7)

\int \frac{2 x ^{2} - 3 x + 4}{2 x - 7} d x

integral of (x^6-x^3+1)/(x^4+9x^2)

\int \frac{x ^{6} - x ^{3} + 1}{x ^{4} + 9 x ^{2}} d x

limit as x approaches infinity of (log_{4}(x))/(log_{9)(x)}

x \to \infty lim (\frac{lo g _{4} ( x )}{lo g _{9} ( x )})

integral from 1 to 5 of sqrt(x-1)

\int_{1}^{5} x - 1 d x

integral of 3/7 x^{-1/7}

\int \frac{3}{7} x^{- \frac{1}{7}} d x