integral of x^5e^{-3x}

解答

\int x^{5} e^{- 3 x} d x

\frac{1}{729} (- 243 e^{- 3 x} x^{5} - 5 (81 e^{- 3 x} x^{4} - 4 (- 27 e^{- 3 x} x^{3} - 3 (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))))) + C

求解步骤

\int x^{5} e^{- 3 x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{e ^{u} u ^{5}}{729} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{729} \cdot \int e^{u} u^{5} d u

使用分布积分法

= \frac{1}{729} (u^{5} e^{u} - \int 5 u^{4} e^{u} d u)

\int 5 u^{4} e^{u} d u = 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

= \frac{1}{729} (u^{5} e^{u} - 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))))

u = - 3 x

代回

= \frac{1}{729} ((- 3 x)^{5} e^{- 3 x} - 5 ((- 3 x)^{4} e^{- 3 x} - 4 ((- 3 x)^{3} e^{- 3 x} - 3 ((- 3 x)^{2} e^{- 3 x} - 2 (e^{- 3 x} (- 3 x) - e^{- 3 x})))))

化简

\frac{1}{729} ((- 3 x)^{5} e^{- 3 x} - 5 ((- 3 x)^{4} e^{- 3 x} - 4 ((- 3 x)^{3} e^{- 3 x} - 3 ((- 3 x)^{2} e^{- 3 x} - 2 (e^{- 3 x} (- 3 x) - e^{- 3 x}))))) : \frac{1}{729} (- 243 e^{- 3 x} x^{5} - 5 (81 e^{- 3 x} x^{4} - 4 (- 27 e^{- 3 x} x^{3} - 3 (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))))

= \frac{1}{729} (- 243 e^{- 3 x} x^{5} - 5 (81 e^{- 3 x} x^{4} - 4 (- 27 e^{- 3 x} x^{3} - 3 (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))))

解答补常数

= \frac{1}{729} (- 243 e^{- 3 x} x^{5} - 5 (81 e^{- 3 x} x^{4} - 4 (- 27 e^{- 3 x} x^{3} - 3 (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))))) + C

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{10 2 ^{n}}

f (x) = - \frac{x ^{3} + x - 1}{2}

d er i v a t i v e y = \frac{9}{8 4 x ^{3}}

x \to 0 lim (a^{x})

d er i v a t i v e x^{5} - 7 x + 8