integral of 1/(y(1-y/m))

Lösung

\int \frac{1}{y ( 1 - \frac{y}{m} )} d y

ln (\frac{∣ y ∣}{∣ m ∣}) - ln \frac{y}{m} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ( 1 - \frac{y}{m} )} d y

Faktorisiere

\frac{1}{( 1 - \frac{y}{m} ) y}

= \int \frac{1}{- y ( \frac{y}{m} - 1 )} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{y ( \frac{y}{m} - 1 )} d y

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

Setze in

u = \frac{y}{m}

ein

= - (- ln \frac{y}{m} + ln \frac{y}{m} - 1)

Vereinfache

- (- ln \frac{y}{m} + ln \frac{y}{m} - 1) : ln (\frac{∣ y ∣}{∣ m ∣}) - ln \frac{y}{m} - 1

= ln (\frac{∣ y ∣}{∣ m ∣}) - ln \frac{y}{m} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln (\frac{∣ y ∣}{∣ m ∣}) - ln \frac{y}{m} - 1 + C

\int 5 t^{4} d t

\int \frac{x ^{2} - 12 x - 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + 1 )} d x

\frac{d}{d x} (m x + c)

\frac{d}{d x} (e^{x} sin (8 x))

l a pl a ce t r an s f or m 1 - 2 e^{- 4 t}