inverselaplace ((s-1))/(s*(s^2+s+1))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{( s - 1 )}{s \cdot ( s ^{2} + s + 1 )}

- H (t) + e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{( s - 1 )}{s ( s ^{2} + s + 1 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{s - 1}{s ( s ^{2} + s + 1 )} : - \frac{1}{s} + \frac{s + 2}{s ^{2} + s + 1}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s} + \frac{s + 2}{s ^{2} + s + 1}}

Schreibe

\frac{s + 2}{s ^{2} + s + 1}

um:

\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s} + \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{1}{s}} + L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} + \frac{3}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= - H (t) + e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

Fasse

- H (t) + e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

zusammen:

- H (t) + e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})

= - H (t) + e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + 3 e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{3 t}{2})

\int \frac{x ^{5}}{( 1 + x ^{3} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

\int cos (x - n x) d x

\int e^{- x} x^{3} d x

y^{^{''}} + 4 y^{^{'}} + 9 y = 0, y (0) = 1, y^{^{'}} (0) = 13

d er i v a t i v e 9 (5^{x})