integral of ((y-1)(y-5))/(y^3-y^2+3y+5)

解答

\int \frac{( y - 1 ) ( y - 5 )}{y ^{3} - y ^{2} + 3 y + 5} d y

\frac{3}{2} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{4} (- ln y^{2} - 2 y + 5 - 6 arctan (\frac{1}{2} (y - 1))) + C

求解步骤

\int \frac{( y - 1 ) ( y - 5 )}{y ^{3} - y ^{2} + 3 y + 5} d y

将

\frac{( y - 1 ) ( y - 5 )}{y ^{3} - y ^{2} + 3 y + 5}

用部份分式展开:

\frac{3}{2 ( y + 1 )} + \frac{- y - 5}{2 ( y ^{2} - 2 y + 5 )}

= \int \frac{3}{2 ( y + 1 )} + \frac{- y - 5}{2 ( y ^{2} - 2 y + 5 )} d y

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3}{2 ( y + 1 )} d y + \int \frac{- y - 5}{2 ( y ^{2} - 2 y + 5 )} d y

\int \frac{3}{2 ( y + 1 )} d y = \frac{3}{2} ln ∣ y + 1 ∣

\int \frac{- y - 5}{2 ( y ^{2} - 2 y + 5 )} d y = \frac{1}{4} (- ln y^{2} - 2 y + 5 - 6 arctan (\frac{1}{2} (y - 1)))

= \frac{3}{2} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{4} (- ln y^{2} - 2 y + 5 - 6 arctan (\frac{1}{2} (y - 1)))

解答补常数

= \frac{3}{2} ln ∣ y + 1 ∣ + \frac{1}{4} (- ln y^{2} - 2 y + 5 - 6 arctan (\frac{1}{2} (y - 1))) + C

\frac{d y}{d x} = - 0.05 y

\int_{0}^{1} π (y^{2} - y^{4}) d y

t an g e n t f (x) = \frac{3}{x}, at x = \frac{1}{16}

\int 2 tan^{3} (2 x) sec^{5} (2 x) d x

\int cos (x + \frac{π}{2}) d x