展開する (e^{xy}+e^y)^4

解

展開する

(e^{x y} + e^{y})^{4}

e^{4 x y} + 4 e^{3 x y + y} + 6 e^{2 x y + 2 y} + 4 e^{x y + 3 y} + e^{4 y}

解答ステップ

(e^{x y} + e^{y})^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{x y}, b = e^{y}

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{x y})^{(4 - i)} (e^{y})^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{x y})^{4} (e^{y})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{x y})^{3} (e^{y})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{x y})^{2} (e^{y})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{x y})^{1} (e^{y})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{x y})^{0} (e^{y})^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{x y})^{4} (e^{y})^{0} : e^{4 x y}

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{x y})^{3} (e^{y})^{1} : 4 e^{3 x y + y}

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{x y})^{2} (e^{y})^{2} : 6 e^{2 (x y + y)}

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{x y})^{1} (e^{y})^{3} : 4 e^{x y + 3 y}

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{x y})^{0} (e^{y})^{4} : e^{4 y}

= e^{4 x y} + 4 e^{3 x y + y} + 6 e^{2 (x y + y)} + 4 e^{x y + 3 y} + e^{4 y}

e^{2 (x y + y)} = e^{2 x y + 2 y}

= e^{4 x y} + 4 e^{3 x y + y} + 6 e^{2 x y + 2 y} + 4 e^{x y + 3 y} + e^{4 y}