erweitern ((x+iy-1)^2)/((x+iy+1)^2)

Lösung

erweitern

\frac{( x + i y - 1 ) ^{2}}{( x + i y + 1 ) ^{2}}

\frac{1 + x ^{4} + y ^{4} - 2 x ^{2} - 6 y ^{2} + 2 x ^{2} y ^{2}}{1 + x ^{4} + y ^{4} + 2 y ^{2} + 4 x + 4 x ^{3} + 6 x ^{2} + 2 x ^{2} y ^{2} + 4 x y ^{2}} + i \frac{- 4 y + 4 y ^{3} + 4 x ^{2} y}{1 + x ^{4} + y ^{4} + 2 y ^{2} + 4 x + 4 x ^{3} + 6 x ^{2} + 2 x ^{2} y ^{2} + 4 x y ^{2}}

Schritte zur Lösung

\frac{( x + i y - 1 ) ^{2}}{( x + i y + 1 ) ^{2}}

(x + i y + 1)^{2} = 2 i x y + x^{2} + 2 x - y^{2} + 2 i y + 1

= \frac{( x + i y - 1 ) ^{2}}{2 i x y + x ^{2} + 2 x - y ^{2} + 2 i y + 1}

(x + i y - 1)^{2} = 2 i x y + x^{2} - 2 x - y^{2} - 2 i y + 1

= \frac{2 i x y + x ^{2} - 2 x - y ^{2} - 2 i y + 1}{2 i x y + x ^{2} + 2 x - y ^{2} + 2 i y + 1}

Rationalisiere

\frac{2 i x y + x ^{2} - 2 x - y ^{2} - 2 i y + 1}{2 i x y + x ^{2} + 2 x - y ^{2} + 2 i y + 1} : \frac{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} - 2 x ^{2} + i ( 4 y ^{3} + 4 x ^{2} y - 4 y ) + y ^{4} + 1 - 6 y ^{2}}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1}

= \frac{y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} - 6 y ^{2} + x ^{4} - 2 x ^{2} + 1 + i ( 4 y ^{3} + 4 x ^{2} y - 4 y )}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1}

Schreibe

\frac{y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} - 6 y ^{2} + x ^{4} - 2 x ^{2} + 1 + i ( 4 y ^{3} + 4 x ^{2} y - 4 y )}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} - 6 y ^{2} + x ^{4} - 2 x ^{2} + 1}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1} + \frac{4 y ^{3} + 4 x ^{2} y - 4 y}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1} i

= \frac{y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} - 6 y ^{2} + x ^{4} - 2 x ^{2} + 1}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1} + \frac{4 y ^{3} + 4 x ^{2} y - 4 y}{x ^{4} + 4 x ^{3} + 2 x ^{2} y ^{2} + 6 x ^{2} + 4 x y ^{2} + 4 x + y ^{4} + 2 y ^{2} + 1} i

e x p an d (2 x - 2 + \frac{c}{e ^{x}})^{2}

e x p an d \frac{4 x ^{2} + 3 x + 6}{x ^{2} ( x ^{2} + 3 )}

e x p an d x (51 - 8 ln (x))

e x p an d \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{2} + \frac{( tan ^{4} ( x ) )}{4}

e x p an d \frac{( x y + 6 ) ^{3}}{8 y ^{3}}