erweitern (e^{-x}+x/3)^{(4)}

Lösung

erweitern

(e^{- x} + \frac{x}{3})^{(4)}

e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

Schritte zur Lösung

(e^{- x} + \frac{x}{3})^{4}

Wende Binomialsetz an:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{- x}, b = \frac{x}{3}

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{- x})^{(4 - i)} (\frac{x}{3})^{i}

Erweitere Summation

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{- x})^{4} (\frac{x}{3})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{- x})^{3} (\frac{x}{3})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{- x})^{2} (\frac{x}{3})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{- x})^{1} (\frac{x}{3})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{- x})^{0} (\frac{x}{3})^{4}

Vereinfache

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{- x})^{4} (\frac{x}{3})^{0} : e^{- 4 x}

Vereinfache

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{- x})^{3} (\frac{x}{3})^{1} : \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3}

Vereinfache

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{- x})^{2} (\frac{x}{3})^{2} : \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

Vereinfache

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{- x})^{1} (\frac{x}{3})^{3} : \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27}

Vereinfache

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{- x})^{0} (\frac{x}{3})^{4} : \frac{x ^{4}}{81}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} : \frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} = \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

e x p an d (\frac{x}{2 - 5 y}) 4

s im pl i f y (x - x x) (x - 1)

e x p an d \frac{( D s ^{2} + P s + I ) \cdot 4865}{s ( s ^{2} + 497.8 s + 5951 )}

s im pl i f y (4 + x 2)^{2}

e x p an d \frac{2 x ^{2} + x + 4}{( 2 x ^{2} - 3 ) ( x + 2 )}