簡約 1/((x+yi)^2-4)

解

簡約

\frac{1}{( x + y i ) ^{2} - 4}

\frac{x ^{2} - y ^{2} - 4}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} - \frac{2 x y}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} i

解答ステップ

\frac{1}{( x + y i ) ^{2} - 4}

拡張

(x + y i)^{2} : x^{2} + 2 x y i - y^{2}

= \frac{1}{x ^{2} + 2 x y i - y ^{2} - 4}

標準的な複素数形式で

x^{2} + 2 x y i - y^{2} - 4

を書き換える:

(x^{2} - y^{2} - 4) + 2 x y i

= \frac{1}{( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) + 2 x y i}

共役で乗じる

\frac{( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i}{( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i}

= \frac{1 \cdot ( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i )}{( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) + 2 x y i ) ( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i )}

簡素化

\frac{1 \cdot ( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i )}{( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) + 2 x y i ) ( ( x ^{2} - y ^{2} - 4 ) - 2 x y i )} : \frac{x ^{2} - y ^{2} - 4 - 2 x y i}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16}

= \frac{x ^{2} - y ^{2} - 4 - 2 x y i}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16}

標準的な複素数形式で書き直す:

\frac{x ^{2} - y ^{2} - 4}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} - \frac{2 x y}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} i

= \frac{x ^{2} - y ^{2} - 4}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} - \frac{2 x y}{x ^{4} + y ^{4} + 3 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{2} - y ^{2} x ^{2} + 8 y ^{2} + 16} i