簡約 (e^{ipix}-e^{-ipix})^2

解

簡約

(e^{iπ x} - e^{- iπ x})^{2}

- 4 sin^{2} (π x)

解答ステップ

(e^{iπ x} - e^{- iπ x})^{2}

e^{iπ x} = cos (π x) + i sin (π x)

e^{- iπ x} = cos (π x) - i sin (π x)

= (cos (π x) + i sin (π x) - (cos (π x) - i sin (π x)))^{2}

拡張

cos (π x) + sin (π x) i - (cos (π x) - i sin (π x)) : 2 i sin (π x)

= (2 i sin (π x))^{2}

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} i^{2} sin^{2} (π x)

2^{2} = 4

= 4 i^{2} sin^{2} (π x)

i^{2} = - 1

= 4 (- 1) sin^{2} (π x)

改良

= - 4 sin^{2} (π x)