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Popular Trigonometria >

2cos^4(x)+8sin^2(x)=5

Solução

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) = 5

Solução

x = 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2.27469 \dots + 2 πn, x = - 2.27469 \dots + 2 πn

Graus

x = 49.66956 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.33043 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) = 5

Subtrair

5

de ambos os lados

2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x) - 5 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

8 (1 - cos^{2} (x)) : 8 - 8 cos^{2} (x)

8 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 8 \cdot 1 - 8 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Simplificar

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x) : 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 5 + 2 cos^{4} (x) + 8 - 8 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) - 5 + 8

Somar/subtrair:

- 5 + 8 = 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

3 + 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

3 + 2 cos^{4} (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0 : u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}, u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

3 + 2 u^{4} - 8 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - 8 u^{2} + 3 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Resolver

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0 : v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 v^{2} - 8 v + 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 8, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 210

(- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 8^{2} - 24

8^{2} = 64

= 64 - 24

Subtrair:

64 - 24 = 40

= 40

Decomposição em fatores primos de

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

dividida por

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 20

20

dividida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

dividida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Simplificar

= 210

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 10}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2} : \frac{4 + 10}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 2 10}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 10}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8 + 2 10}{4}

Fatorar

8 + 210 : 2 (4 + 10)

8 + 210

Reescrever como

= 2 \cdot 4 + 210

Fatorar o termo comum

2

= 2 (4 + 10)

= \frac{2 ( 4 + 10 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{4 + 10}{2}

v = \frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2} : \frac{4 - 10}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 2 10}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 10}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8 - 2 10}{4}

Fatorar

8 - 210 : 2 (4 - 10)

8 - 210

Reescrever como

= 2 \cdot 4 - 210

Fatorar o termo comum

2

= 2 (4 - 10)

= \frac{2 ( 4 - 10 )}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{4 - 10}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

v = \frac{4 + 10}{2}, v = \frac{4 - 10}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = \frac{4 + 10}{2} : u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}

u^{2} = \frac{4 + 10}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{4 - 10}{2} : u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

u^{2} = \frac{4 - 10}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

As soluções são

u = \frac{4 + 10}{2}, u = - \frac{4 + 10}{2}, u = \frac{4 - 10}{2}, u = - \frac{4 - 10}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = \frac{4 - 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}, cos (x) = \frac{4 - 10}{2}, cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = \frac{4 + 10}{2} :

Sem solução

cos (x) = \frac{4 + 10}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{4 + 10}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{4 + 10}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{4 - 10}{2} : x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2} : x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{4 - 10}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{4 - 10}{2} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.86689 \dots + 2 πn, x = 2.27469 \dots + 2 πn, x = - 2.27469 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos^4(a)+cos^2(a)=1

cos^{4} (a) + cos^{2} (a) = 1

1-cos(x)=2+cos(x)

1 - cos (x) = 2 + cos (x)

(1+cos(4x))sin(4x)=2cos^2(2x)

(1 + cos (4 x)) sin (4 x) = 2 cos^{2} (2 x)

(5sin(x)+6)/(sin(x))=17

\frac{5 sin ( x ) + 6}{sin ( x )} = 17

tan^2(x)sec(x)-1=0

tan^{2} (x) sec (x) - 1 = 0