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Beliebt Trigonometrie >

4sin^2(x)-4cos(x)-1=0

Lösung

4 sin^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - 4 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

- 1 - 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

- 1 - 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

= - 4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 3

3 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

3 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 4 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 4, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 3}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 3}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) \cdot 3 = 8

(- 4)^{2} - 4 (- 4) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 4^{2} + 48

4^{2} = 16

= 16 + 48

Addiere die Zahlen:

16 + 48 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 8}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 8}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 8}{- 2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{12}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 8}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 8}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 8 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos^2(x)+2cos(x)-8=0

3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8 = 0

tan(a)+sec(a)= 3/2

tan (a) + sec (a) = \frac{3}{2}

3cos^2(x)+4cos^4(x)-5=0

3 cos^{2} (x) + 4 cos^{4} (x) - 5 = 0

cos(2x+3)=0

cos (2 x + 3) = 0

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