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sin(θ)cos(θ)=csc(θ)sec(θ)

解答

sin (θ) cos (θ) = csc (θ) sec (θ)

解答

θ \in R 无解

求解步骤

sin (θ) cos (θ) = csc (θ) sec (θ)

两边减去

csc (θ) sec (θ)

sin (θ) cos (θ) - csc (θ) sec (θ) = 0

用 sin, cos 表示

cos (θ) sin (θ) - csc (θ) sec (θ)

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= cos (θ) sin (θ) - \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (θ) sin (θ) - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

化简

cos (θ) sin (θ) - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) - 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) sin (θ) - \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

数字相乘:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= cos (θ) sin (θ) - \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

将项转换为分式:

cos (θ) sin (θ) = \frac{cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) sin ( θ ) sin ( θ ) cos ( θ ) - 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) sin (θ) sin (θ) cos (θ) - 1 = sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) - 1

cos (θ) sin (θ) sin (θ) cos (θ) - 1

cos (θ) sin (θ) sin (θ) cos (θ) = sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

cos (θ) sin (θ) sin (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= sin (θ) sin (θ) cos^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin (θ) sin (θ) cos^{2} (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ) cos^{2} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) - 1

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) - 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) - 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{- 1 + cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

分解

- 1 + cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : (sin (θ) cos (θ) + 1) (sin (θ) cos (θ) - 1)

- 1 + cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

使用指数法则:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (sin (θ) cos (θ))^{2}

= - 1 + (sin (θ) cos (θ))^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

- 1 + (sin (θ) cos (θ))^{2} = (sin (θ) cos (θ) + 1) (sin (θ) cos (θ) - 1)

= (sin (θ) cos (θ) + 1) (sin (θ) cos (θ) - 1)

(sin (θ) cos (θ) + 1) (sin (θ) cos (θ) - 1) = 0

分别求解每个部分

sin (θ) cos (θ) + 1 = 0 or sin (θ) cos (θ) - 1 = 0

sin (θ) cos (θ) + 1 = 0 :

无解

sin (θ) cos (θ) + 1 = 0

使用三角恒等式改写

sin (θ) cos (θ) + 1

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

将

1

到右边

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

两边减去

1

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} - 1 = 0 - 1

化简

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

在两边乘以

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

在两边乘以

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} = 2 (- 1)

化简

sin (2 θ) = - 2

sin (2 θ) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

sin (θ) cos (θ) - 1 = 0 :

无解

sin (θ) cos (θ) - 1 = 0

使用三角恒等式改写

sin (θ) cos (θ) - 1

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2}

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

将

1

到右边

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

两边加上

1

- 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} + 1 = 0 + 1

化简

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

在两边乘以

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = 1

在两边乘以

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} = 1 \cdot 2

化简

sin (2 θ) = 2

sin (2 θ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ \in R 无解

作图

流行的例子

solvefor a,x=cos(a)

so l v e f or a, x = cos (a)

sin(1/2*k*r(sqrt(1+(a^2)/(r^2)))-1)=pi

sin (\frac{1}{2} \cdot k \cdot r (1 + \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) - 1) = π

3sin(x)=2sec(x)tan(x)

3 sin (x) = 2 sec (x) tan (x)

12sin(x)+5cos(x)=0

12 sin (x) + 5 cos (x) = 0

sin(x)=2sin(2x)

sin (x) = 2 sin (2 x)