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Beliebt Trigonometrie >

(cot(θ)+csc(θ))/(sec(θ)+1)=sin(θ)

Lösung

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

Lösung

θ = 0.90455 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Grad

θ = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

Subtrahiere

sin (θ)

von beiden Seiten

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ) = 0

Vereinfache

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ) : \frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - sin (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

= \frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} - \frac{sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1}

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ ) - sin ( θ ) ( sec ( θ ) + 1 )}{sec ( θ ) + 1} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot (θ) + csc (θ) - sin (θ) (sec (θ) + 1) = 0

Drücke mit sin, cos aus

cot (θ) + csc (θ) - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + csc (θ) - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + sec (θ)) sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ)

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ) : \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} - (1 + \frac{1}{cos ( θ )}) sin (θ)

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - sin (θ) (\frac{1}{cos ( θ )} + 1)

Füge

1 + \frac{1}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

1 + \frac{1}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ)

Multipliziere

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ) : \frac{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (θ)

oder

cos (θ)

auftauchen.

= sin (θ) cos (θ)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (θ) cos (θ)

Für

\frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (θ)

\frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ )} = \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Für

\frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (θ)

\frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{( cos ( θ ) + 1 ) sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) - sin ^{2} ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ ) - ( 1 + cos ( θ ) ) sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ) = 0

Faktorisiere

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ) : (1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ))

(1 + cos (θ)) cos (θ) - (1 + cos (θ)) sin^{2} (θ)

Klammere gleiche Terme aus

(1 + cos (θ))

= (1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ))

(1 + cos (θ)) (cos (θ) - sin^{2} (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 + cos (θ) = 0 or cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0

1 + cos (θ) = 0 : θ = π + 2 πn

1 + cos (θ) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (θ) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (θ) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0 : θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ) - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= cos (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

- 1 + cos (θ) + cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + cos (θ) + cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2} : θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

π + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.90455 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1/(cos(2x))+tan(2x)=3cos(2x),0<x<90

\frac{1}{cos ( 2 x )} + tan (2 x) = 3 cos (2 x), 0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}

sin(x)= 4/5 ,0<= x<2pi

sin (x) = \frac{4}{5}, 0 \leq x < 2 π

7sin^2(θ)-5sin(θ)=2

7 sin^{2} (θ) - 5 sin (θ) = 2

sec(2x)=-(2/(sqrt(3)))

sec (2 x) = - (\frac{2}{3})

(e^{-ln(-(sin(θ))/(cos(θ)))})/2*sin(θ)=0

\frac{e ^{- l n (- \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )})}}{2} \cdot sin (θ) = 0