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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)-2cos(x)-1=0

Lösung

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Grad

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 23

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2} : \frac{1 - 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 3}{4}

Faktorisiere

2 - 23 : 2 (1 - 3)

2 - 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 3)

= \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 3}{2} : x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(b)= 1/(sqrt(3))

sin (b) = \frac{1}{3}

35+53sin(2T-31.9)=0

35 + 53 sin (2 T - 31.9) = 0

cos(2x)=-12

cos (2 x) = - 12

sin(x)= 1/3 ,cos(x)

sin (x) = \frac{1}{3}, cos (x)

sec(2x-10)=csc(32)

sec (2 x - 1 0^{\circ}) = csc (3 2^{\circ})