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Beliebt Trigonometrie >

sin(θ)=sqrt(1-(1-(cos(θ)-1)^2))

Lösung

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

Quadriere beide Seiten

sin^{2} (θ) = (1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2}))^{2}

Subtrahiere

1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})^{2}

von beiden Seiten

sin^{2} (θ) - 1 + 2 cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 2 cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos^{2} (θ) + 2 cos (θ) - cos^{2} (θ)

Vereinfache

= - 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

2 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 u - 2 u^{2} = 0

2 u - 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

ein, um zu lösen

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 - (1 - (cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 1)^{2})

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

ein, um zu lösen

sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 - (1 - (cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - 1)^{2})

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

θ = 2 π 1

sin (θ) = 1 - (1 - (cos (θ) - 1)^{2})

ein, um zu lösen

sin (2 π 1) = 1 - (1 - (cos (2 π 1) - 1)^{2})

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

14.79m=((7.61_{0}^2sin(2θ_{0}))/g)

14.79 m = (\frac{7.6 1 _{0}^{2} sin ( 2 θ _{0} )}{g})

2cos(x)+3cos(x)-2=0

2 cos (x) + 3 cos (x) - 2 = 0

sec((5θ)/4)=2,[0.2pi]

sec (\frac{5 θ}{4}) = 2, [0.2 π]

cos(x)+|cos(x)|=1,-2pi<= x<= 2pi

cos (x) + ∣ cos (x) ∣ = 1, - 2 π \leq x \leq 2 π

(30.56)/(sin(88))=(17)/(sin(x))

\frac{30.56}{sin ( 8 8 ^{\circ} )} = \frac{17}{sin ( x )}