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Popular Trigonometria >

(cot^2(x))/(1+sin(x))=(csc(x)-1)/(sin^2(x))

Solução

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Subtrair

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

de ambos os lados

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = 0

Simplificar

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} - \frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

1 + sin (x), sin^{2} (x) : sin^{2} (x) (sin (x) + 1)

1 + sin (x), sin^{2} (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

1 + sin (x)

quanto em

sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) (sin (x) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (x)

\frac{cot ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) sin ^{2} ( x )}

Para

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x) + 1

\frac{csc ( x ) - 1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) sin ^{2} ( x )} - \frac{( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{cot ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - ( csc ( x ) - 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot^{2} (x) sin^{2} (x) - (csc (x) - 1) (sin (x) + 1) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + cot^{2} (x) sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (csc^{2} (x) - 1) sin^{2} (x)

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x) = 0

Fatorar

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x) : (- 1 + csc (x)) (- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x))

- (- 1 + csc (x)) (1 + sin (x)) + (- 1 + csc^{2} (x)) sin^{2} (x)

Fatorar

- 1 + csc^{2} (x) : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

- 1 + csc^{2} (x)

Reescrever

1

como

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= - (csc (x) - 1) (sin (x) + 1) + sin^{2} (x) (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

Fatorar o termo comum

(- 1 + csc (x))

= (- 1 + csc (x)) (- (1 + sin (x)) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x))

Expandir

sin^{2} (x) (csc (x) + 1) - (sin (x) + 1) : - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

- (1 + sin (x)) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x)

= - (1 + sin (x)) + sin^{2} (x) (1 + csc (x))

- (1 + sin (x)) : - 1 - sin (x)

- (1 + sin (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (sin (x))

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - 1 - sin (x)

= - 1 - sin (x) + (1 + csc (x)) sin^{2} (x)

Expandir

sin^{2} (x) (1 + csc (x)) : sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

sin^{2} (x) (1 + csc (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin^{2} (x), b = 1, c = csc (x)

= sin^{2} (x) \cdot 1 + sin^{2} (x) csc (x)

= 1 \cdot sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)

= (csc (x) - 1) (sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) - sin (x) - 1)

(- 1 + csc (x)) (- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

- 1 + csc (x) = 0 or - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0

- 1 + csc (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 + csc (x) = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + csc (x) = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + csc (x) + 1 = 0 + 1

Simplificar

csc (x) = 1

csc (x) = 1

Soluções gerais para

csc (x) = 1

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x) csc (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + csc (x) sin^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x) : sin^{2} (x) - 1

- 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + \frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

\frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x) = sin (x)

\frac{1}{sin ( x )} sin^{2} (x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Eliminar o fator comum:

sin (x)

= sin (x)

= - 1 - sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Agrupar termos semelhantes

= - sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x) - 1

Somar elementos similares:

- sin (x) + sin (x) = 0

= sin^{2} (x) - 1

= sin^{2} (x) - 1

- 1 + sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + u^{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + u^{2} = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + u^{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar a regra

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

\frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan(x)=2.3

tan (x) = 2.3

2sec^2(x)=5tan(x)+5

2 sec^{2} (x) = 5 tan (x) + 5

solvefor x,y=arcsin(xy)

so l v e f or x, y = arcsin (x y)

2sin^3(x/2)cos(x/2)=cos^2(x/2)sin(x)

2 sin^{3} (\frac{x}{2}) cos (\frac{x}{2}) = cos^{2} (\frac{x}{2}) sin (x)

sqrt(3)sin(x)-2cos(x)=sqrt(7)

3 sin (x) - 2 cos (x) = 7