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Beliebt Trigonometrie >

25sin(θ)-1.5cos(θ)=20

Lösung

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

Lösung

θ = 2.27661 \dots + 2 πn, θ = 0.98483 \dots + 2 πn

Grad

θ = 130.44044 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 56.42681 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

Füge

1.5 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

25 sin (θ) = 20 + 1.5 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(25 sin (θ))^{2} = (20 + 1.5 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(20 + 1.5 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

625 sin^{2} (θ) - 400 - 60 cos (θ) - 2.25 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 (1 - cos^{2} (θ)) : - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 225

- 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

625 (1 - cos^{2} (θ)) : 625 - 625 cos^{2} (θ)

625 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 625, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 625 \cdot 1 - 625 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

625 \cdot 1 = 625

= 625 - 625 cos^{2} (θ)

= - 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 - 625 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 - 625 cos^{2} (θ) : - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 225

- 400 - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 625 - 625 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) - 625 cos^{2} (θ) - 400 + 625

Addiere gleiche Elemente:

- 2.25 cos^{2} (θ) - 625 cos^{2} (θ) = - 627.25 cos^{2} (θ)

= - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) - 400 + 625

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 400 + 625 = 225

= - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 225

= - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 225

= - 627.25 cos^{2} (θ) - 60 cos (θ) + 225

225 - 60 cos (θ) - 627.25 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

225 - 60 cos (θ) - 627.25 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

225 - 60 u - 627.25 u^{2} = 0

225 - 60 u - 627.25 u^{2} = 0 : u = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}, u = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

225 - 60 u - 627.25 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

100

225 - 60 u - 627.25 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

225 \cdot 100 - 60 u \cdot 100 - 627.25 u^{2} \cdot 100 = 0 \cdot 100

Fasse zusammen

22500 - 6000 u - 62725 u^{2} = 0

22500 - 6000 u - 62725 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 62725 u^{2} - 6000 u + 22500 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 62725 u^{2} - 6000 u + 22500 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 62725, b = - 6000, c = 22500

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6000 ) \pm ( - 6000 ) ^{2} - 4 ( - 62725 ) \cdot 22500}{2 ( - 62725 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6000 ) \pm ( - 6000 ) ^{2} - 4 ( - 62725 ) \cdot 22500}{2 ( - 62725 )}

(- 6000)^{2} - 4 (- 62725) \cdot 22500 = 5681250000

(- 6000)^{2} - 4 (- 62725) \cdot 22500

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 6000)^{2} + 4 \cdot 62725 \cdot 22500

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6000)^{2} = 600 0^{2}

= 600 0^{2} + 4 \cdot 62725 \cdot 22500

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 62725 \cdot 22500 = 5645250000

= 600 0^{2} + 5645250000

600 0^{2} = 36000000

= 36000000 + 5645250000

Addiere die Zahlen:

36000000 + 5645250000 = 5681250000

= 5681250000

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6000 ) \pm 5681250000}{2 ( - 62725 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6000 ) + 5681250000}{2 ( - 62725 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6000 ) - 5681250000}{2 ( - 62725 )}

u = \frac{- ( - 6000 ) + 5681250000}{2 ( - 62725 )} : - \frac{6000 + 5681250000}{125450}

\frac{- ( - 6000 ) + 5681250000}{2 ( - 62725 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6000 + 5681250000}{- 2 \cdot 62725}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 62725 = 125450

= \frac{6000 + 5681250000}{- 125450}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6000 + 5681250000}{125450}

u = \frac{- ( - 6000 ) - 5681250000}{2 ( - 62725 )} : \frac{5681250000 - 6000}{125450}

\frac{- ( - 6000 ) - 5681250000}{2 ( - 62725 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6000 - 5681250000}{- 2 \cdot 62725}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 62725 = 125450

= \frac{6000 - 5681250000}{- 125450}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

6000 - 5681250000 = - (5681250000 - 6000)

= \frac{5681250000 - 6000}{125450}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}, u = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}, cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}, cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450} : θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{6000 + 5681250000}{125450}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450} : θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{5681250000 - 6000}{125450}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

ein, um zu lösen

25 sin (arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1) - 1.5 cos (arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1) = 20

Fasse zusammen

20 = 20

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

ein, um zu lösen

25 sin (- arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1) - 1.5 cos (- arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 π 1) = 20

Fasse zusammen

- 18.05402 \dots = 20

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

ein, um zu lösen

25 sin (arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1) - 1.5 cos (arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1) = 20

Fasse zusammen

20 = 20

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1

25 sin (θ) - 1.5 cos (θ) = 20

ein, um zu lösen

25 sin (2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1) - 1.5 cos (2 π - arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 π 1) = 20

Fasse zusammen

- 21.65900 \dots = 20

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (- \frac{6000 + 5681250000}{125450}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{5681250000 - 6000}{125450}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2.27661 \dots + 2 πn, θ = 0.98483 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x-pi/6)-sin(x)=0

cos (x - \frac{π}{6}) - sin (x) = 0

6sec^2(x)+tan(x)-7=0

6 sec^{2} (x) + tan (x) - 7 = 0

cos(B)= 2/3

cos (B) = \frac{2}{3}

sin(2x)=1-sin(2x)

sin (2 x) = 1 - sin (2 x)

3tan(c)+sqrt(8)=0

3 tan (c) + 8 = 0