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4sin^2(θ)+2cos(θ)=3

Solução

4 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) = 3

Solução

θ = 1.88495 \dots + 2 πn, θ = - 1.88495 \dots + 2 πn, θ = 0.62831 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn

Graus

θ = 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 32 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) = 3

Subtrair

3

de ambos os lados

4 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) - 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 3 + 2 cos (θ) + 4 sin^{2} (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + 2 cos (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- 3 + 2 cos (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

- 3 + 2 cos (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (θ)) : 4 - 4 cos^{2} (θ)

4 (1 - cos^{2} (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (θ)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (θ)

= - 3 + 2 cos (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 3 + 2 cos (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) : 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

- 3 + 2 cos (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) - 3 + 4

Somar/subtrair:

- 3 + 4 = 1

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

1 + 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Usando o método de substituição

1 + 2 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{4}, u = \frac{1 + 5}{4}

1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 25

2^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Somar:

4 + 16 = 20

= 20

Decomposição em fatores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

dividida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

dividida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 ( - 4 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )} : - \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 5}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 5}{8}

Cancelar

\frac{- 2 + 2 5}{8} : \frac{5 - 1}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{8}

Fatorar

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 25

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

= - \frac{5 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 5}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 25 = - (2 + 25)

= \frac{2 + 2 5}{8}

Fatorar

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 25

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1 + 5}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{- 1 + 5}{4}, u = \frac{1 + 5}{4}

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4}, cos (θ) = \frac{1 + 5}{4}

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4}, cos (θ) = \frac{1 + 5}{4}

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4} : θ = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4}

Soluções gerais para

cos (θ) = - \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1 + 5}{4} : θ = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1 + 5}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{1 + 5}{4}

Soluções gerais para

cos (θ) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

θ = 1.88495 \dots + 2 πn, θ = - 1.88495 \dots + 2 πn, θ = 0.62831 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

1715/70 =tan(45+θ/2)

\frac{1715}{70} = tan (4 5^{\circ} + \frac{θ}{2})

cos(3x)=sin(x-30)

cos (3 x) = sin (x - 3 0^{\circ})

885cos(θ)-70=cos(250)

885 cos (θ) - 70 = cos (25 0^{\circ})

tan(x)+5=0,x<= 0<2pi

tan (x) + 5 = 0, x \leq 0 < 2 π

2sqrt(3)cos(θ-pi/3)=3,0<= θ<= 2pi

23 cos (θ - \frac{π}{3}) = 3, 0 \leq θ \leq 2 π