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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-5cos(x)=3

Lösung

sin^{2} (x) - 5 cos (x) = 3

Lösung

x = 2.02466 \dots + 2 πn, x = - 2.02466 \dots + 2 πn

Grad

x = 116.00484 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 116.00484 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 5 cos (x) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 5 cos (x) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 + sin^{2} (x) - 5 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + 1 - cos^{2} (x) - 5 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 5 cos (x) - 2

- 2 - cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 - u^{2} - 5 u = 0

- 2 - u^{2} - 5 u = 0 : u = - \frac{5 + 17}{2}, u = - \frac{5 - 17}{2}

- 2 - u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 5 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 5 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 5, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 2 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 2 )}{2 ( - 1 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 1) (- 2) = 17

(- 5)^{2} - 4 (- 1) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 5^{2} - 8

5^{2} = 25

= 25 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 8 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 17}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 17}{2 ( - 1 )} : - \frac{5 + 17}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 17}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 17}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 17}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 + 17}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 17}{2 ( - 1 )} : - \frac{5 - 17}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 17}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 17}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 17}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 - 17}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{5 + 17}{2}, u = - \frac{5 - 17}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{5 + 17}{2}, cos (x) = - \frac{5 - 17}{2}

cos (x) = - \frac{5 + 17}{2}, cos (x) = - \frac{5 - 17}{2}

cos (x) = - \frac{5 + 17}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{5 + 17}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{5 - 17}{2} : x = arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{5 - 17}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{5 - 17}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{5 - 17}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 - 17}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.02466 \dots + 2 πn, x = - 2.02466 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=-9/41

cos (x) = - \frac{9}{41}

cos(θ)=-0.42,0<= θ<360

cos (θ) = - 0.42, 0^{\circ} \leq θ < 36 0^{\circ}

sin(2x)= 1/2 ,0<x<2pi

sin (2 x) = \frac{1}{2}, 0 < x < 2 π

4sin^2(θ)+2cos(θ)=3

4 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) = 3

1715/70 =tan(45+θ/2)

\frac{1715}{70} = tan (4 5^{\circ} + \frac{θ}{2})