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Beliebt Trigonometrie >

3sqrt(2)sin(v)+3sqrt(2)cos(v)=3

Lösung

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

Lösung

v = 1.83259 \dots + 2 πn, v = 2 π - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

v = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, v = 34 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

Subtrahiere

32 cos (v)

von beiden Seiten

32 sin (v) = 3 - 32 cos (v)

Quadriere beide Seiten

(32 sin (v))^{2} = (3 - 32 cos (v))^{2}

Subtrahiere

(3 - 32 cos (v))^{2}

von beiden Seiten

18 sin^{2} (v) - 9 + 182 cos (v) - 18 cos^{2} (v) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 sin^{2} (v) + 18 cos (v) 2

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 (1 - cos^{2} (v)) + 18 cos (v) 2

Vereinfache

- 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 (1 - cos^{2} (v)) + 18 cos (v) 2 : 182 cos (v) - 36 cos^{2} (v) + 9

- 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 (1 - cos^{2} (v)) + 18 cos (v) 2

= - 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 (1 - cos^{2} (v)) + 182 cos (v)

Multipliziere aus

18 (1 - cos^{2} (v)) : 18 - 18 cos^{2} (v)

18 (1 - cos^{2} (v))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 18, b = 1, c = cos^{2} (v)

= 18 \cdot 1 - 18 cos^{2} (v)

Multipliziere die Zahlen:

18 \cdot 1 = 18

= 18 - 18 cos^{2} (v)

= - 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 - 18 cos^{2} (v) + 18 cos (v) 2

Vereinfache

- 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 - 18 cos^{2} (v) + 18 cos (v) 2 : 182 cos (v) - 36 cos^{2} (v) + 9

- 9 - 18 cos^{2} (v) + 18 - 18 cos^{2} (v) + 18 cos (v) 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 18 cos^{2} (v) - 18 cos^{2} (v) + 182 cos (v) - 9 + 18

Addiere gleiche Elemente:

- 18 cos^{2} (v) - 18 cos^{2} (v) = - 36 cos^{2} (v)

= - 36 cos^{2} (v) + 182 cos (v) - 9 + 18

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 18 = 9

= 182 cos (v) - 36 cos^{2} (v) + 9

= 182 cos (v) - 36 cos^{2} (v) + 9

= 182 cos (v) - 36 cos^{2} (v) + 9

9 - 36 cos^{2} (v) + 18 cos (v) 2 = 0

Löse mit Substitution

9 - 36 cos^{2} (v) + 18 cos (v) 2 = 0

Angenommen:

cos (v) = u

9 - 36 u^{2} + 18 u 2 = 0

9 - 36 u^{2} + 18 u 2 = 0 : u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

9 - 36 u^{2} + 18 u 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 36 u^{2} + 182 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 36 u^{2} + 182 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 36, b = 182, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- 18 2 \pm ( 18 2 ) ^{2} - 4 ( - 36 ) \cdot 9}{2 ( - 36 )}

u_{1, 2} = \frac{- 18 2 \pm ( 18 2 ) ^{2} - 4 ( - 36 ) \cdot 9}{2 ( - 36 )}

(182)^{2} - 4 (- 36) \cdot 9 = 186

(182)^{2} - 4 (- 36) \cdot 9

Wende Regel an

- (- a) = a

= (182)^{2} + 4 \cdot 36 \cdot 9

(182)^{2} = 1 8^{2} \cdot 2

(182)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 1 8^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 1 8^{2} \cdot 2

4 \cdot 36 \cdot 9 = 1296

4 \cdot 36 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 36 \cdot 9 = 1296

= 1296

= 1 8^{2} \cdot 2 + 1296

1 8^{2} \cdot 2 = 648

1 8^{2} \cdot 2

1 8^{2} = 324

= 324 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

324 \cdot 2 = 648

= 648

= 648 + 1296

Addiere die Zahlen:

648 + 1296 = 1944

= 1944

Primfaktorzerlegung von

1944 : 2^{3} \cdot 3^{5}

1944

1944

ist durch

21944 = 972 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 972

972

ist durch

2972 = 486 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 486

486

ist durch

2486 = 243 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 243

243

ist durch

3243 = 81 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 81

81

ist durch

381 = 27 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{5}

= 3^{5} \cdot 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{4} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{4} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 186

u_{1, 2} = \frac{- 18 2 \pm 18 6}{2 ( - 36 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 18 2 + 18 6}{2 ( - 36 )}, u_{2} = \frac{- 18 2 - 18 6}{2 ( - 36 )}

u = \frac{- 18 2 + 18 6}{2 ( - 36 )} : - \frac{- 2 + 6}{4}

\frac{- 18 2 + 18 6}{2 ( - 36 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 18 2 + 18 6}{- 2 \cdot 36}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 36 = 72

= \frac{- 18 2 + 18 6}{- 72}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 18 2 + 18 6}{72}

Streiche

\frac{- 18 2 + 18 6}{72} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- 18 2 + 18 6}{72}

Klammere gleiche Terme aus

18

= \frac{18 ( - 2 + 6 )}{72}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

18

= \frac{- 2 + 6}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{- 2 + 6}{4}

u = \frac{- 18 2 - 18 6}{2 ( - 36 )} : \frac{2 + 6}{4}

\frac{- 18 2 - 18 6}{2 ( - 36 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 18 2 - 18 6}{- 2 \cdot 36}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 36 = 72

= \frac{- 18 2 - 18 6}{- 72}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 182 - 186 = - (182 + 186)

= \frac{18 2 + 18 6}{72}

Klammere gleiche Terme aus

18

= \frac{18 ( 2 + 6 )}{72}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

18

= \frac{2 + 6}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 2 + 6}{4}, u = \frac{2 + 6}{4}

Setze in

u = cos (v)

ein

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (v) = \frac{2 + 6}{4}

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4}, cos (v) = \frac{2 + 6}{4}

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4} : v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (v) = - \frac{- 2 + 6}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (v) = \frac{2 + 6}{4} : v = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

cos (v) = \frac{2 + 6}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (v) = \frac{2 + 6}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (v) = \frac{2 + 6}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

v = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

v = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

ein, um zu lösen

32 sin (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 32 cos (arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

v = - arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

ein, um zu lösen

32 sin (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 32 cos (- arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 5.19615 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

v = arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

ein, um zu lösen

32 sin (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 32 cos (arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

5.19615 \dots = 3

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

32 sin (v) + 32 cos (v) = 3

ein, um zu lösen

32 sin (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) + 32 cos (2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

3 = 3

\Rightarrow Wahr

v = arccos (- \frac{- 2 + 6}{4}) + 2 πn, v = 2 π - arccos (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

v = 1.83259 \dots + 2 πn, v = 2 π - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4sin(x)+5cos(x)=6

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

cos(x)=(-4)/5

cos (x) = \frac{- 4}{5}

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

3 cot (\frac{3}{2}) + 2 csc (\frac{x}{2}) = 0, 0^{\circ} \leq, x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

cos (x) = 2 cos (4 5^{\circ} + x)