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人気のある三角関数 >

4sin(x)+5cos(x)=6

解

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

解

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

+1

度

x = 59.09912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18.22049 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

両辺から

5 cos (x)

を引く

4 sin (x) = 6 - 5 cos (x)

両辺を2乗する

(4 sin (x))^{2} = (6 - 5 cos (x))^{2}

両辺から

(6 - 5 cos (x))^{2}

を引く

16 sin^{2} (x) - 36 + 60 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 36 + 16 sin^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

簡素化

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

拡張

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

数を乗じる:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

簡素化

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x) : 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 36 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 41 cos^{2} (x)

= - 36 + 16 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x)

数を足す/引く:

- 36 + 16 = - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

= 60 cos (x) - 41 cos^{2} (x) - 20

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

置換で解く

- 20 - 41 cos^{2} (x) + 60 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0 : u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

- 20 - 41 u^{2} + 60 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

解くとthe二次式

- 41 u^{2} + 60 u - 20 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 41, b = 60, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 6 0 ^{2} - 4 ( - 41 ) ( - 20 )}{2 ( - 41 )}

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20) = 85

6 0^{2} - 4 (- 41) (- 20)

規則を適用

- (- a) = a

= 6 0^{2} - 4 \cdot 41 \cdot 20

数を乗じる:

4 \cdot 41 \cdot 20 = 3280

= 6 0^{2} - 3280

6 0^{2} = 3600

= 3600 - 3280

数を引く:

3600 - 3280 = 320

= 320

以下の素因数分解:

320 : 2^{6} \cdot 5

320

3202320 = 160 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 160

1602160 = 80 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 80

80280 = 40 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40240 = 20 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20220 = 10 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10210 = 5 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 5

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 5 2^{6}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5

改良

= 85

u_{1, 2} = \frac{- 60 \pm 8 5}{2 ( - 41 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

\frac{- 60 + 8 5}{2 ( - 41 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 60 + 8 5}{- 2 \cdot 41}

数を乗じる:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 + 8 5}{- 82}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 + 85 = - (60 - 85)

= \frac{60 - 8 5}{82}

因数

60 - 85 : 4 (15 - 25)

60 - 85

書き換え

= 4 \cdot 15 - 4 \cdot 25

共通項をくくり出す

4

= 4 (15 - 25)

= \frac{4 ( 15 - 2 5 )}{82}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

u = \frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )} : \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

\frac{- 60 - 8 5}{2 ( - 41 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 60 - 8 5}{- 2 \cdot 41}

数を乗じる:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 60 - 8 5}{- 82}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 60 - 85 = - (60 + 85)

= \frac{60 + 8 5}{82}

因数

60 + 85 : 4 (15 + 25)

60 + 85

書き換え

= 4 \cdot 15 + 4 \cdot 25

共通項をくくり出す

4

= 4 (15 + 25)

= \frac{4 ( 15 + 2 5 )}{82}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

二次equationの解:

u = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, u = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}, cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41} : x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

改良

- 0.86445 \dots = 6

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (x) + 5 cos (x) = 6

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 π 1) = 6

改良

3.49860 \dots = 6

\Rightarrow 偽

x = arccos (\frac{2 ( 15 - 2 5 )}{41}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 15 + 2 5 )}{41}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.03147 \dots + 2 πn, x = 0.31800 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

(sqrt(3))/2 cos(x)+1/2 sin(x)= 1/2

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{- 4}{5}

3cot(3/2)+2csc(x/2)=0,0<= ,x<= 360

3 cot (\frac{3}{2}) + 2 csc (\frac{x}{2}) = 0, 0^{\circ} \leq, x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)=sqrt(2)cos(45+x)

cos (x) = 2 cos (4 5^{\circ} + x)

2 sin (θ) = 1.124