English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

Lời Giải

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Lời Giải

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Các bước giải pháp

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

Sử dụng hằng đẳng thức tổng thành tích:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Giải

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Rút gọn

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Nhân phân số:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Nhân các số:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Hợp

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} : \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Bội Số Chung Nhỏ Nhất của

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

Bội Số Chung Nhỏ Nhất (LCM)

Tính một biểu thức bao gồm các thừa số xuất hiện trong

x - 1

hoặc

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

Điều chỉnh phân số dựa trên LCM

Nhân mỗi tử số với cùng một lượng cần thiết để nhân nó

mẫu số tương ứng để biến nó thành LCM

(x - 1) (x + 1)

Đối với

\frac{1}{x - 1} :

nhân mẫu số và tử số với

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Đối với

\frac{2}{x + 1} :

nhân mẫu số và tử số với

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Mở rộng

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

Mở rộng

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

Áp dụng luật phân phối:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

Rút gọn

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

Nhóm các thuật ngữ

= x + 2 x + 1 - 2

Thêm các phần tử tương tự:

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

Cộng/Trừ các số:

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

Hợp

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Nhân:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Mở rộng

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Mở rộng

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Áp dụng quy tắc

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Trừ các số:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

Nhân

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Triệt tiêu thừa số chung:

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

Triệt tiêu thừa số chung:

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Nhân cả hai vế với

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Nhân cả hai vế với

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Rút gọn

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Rút gọn

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

Triệt tiêu thừa số chung:

x^{2} - 3

= 3 x - 1

Rút gọn

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

Nhân:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

Xóa dấu ngoặc đơn:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

Giải

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

Đổi bên

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Di chuyển

1

sang bên trái

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Thêm

1

vào cả hai bên

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

Rút gọn

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

Di chuyển

3 x

sang bên trái

x^{2} - 2 = 3 x

Trừ

3 x

cho cả hai bên

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

Rút gọn

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

Viết ở dạng chuẩn

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Giải bằng căn thức bậc hai

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Công thức phương trình bậc hai:

Với

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Áp dụng quy tắc số mũ:

(- a)^{n} = a^{n},

nếu

n

là chẵn

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Nhân các số:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Thêm các số:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Tách các lời giải

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Các nghiệm của phương trình bậc hai là:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Xác minh lời giải

Tìm điểm không xác định (điểm kỳ dị):

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Lấy (các) mẫu số của

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

và so sánh với 0

Giải

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

Rút gọn

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Nhân phân số:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Nhân các số:

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Nhân cả hai vế với

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Nhân cả hai vế với

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Rút gọn

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Rút gọn

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

Nhân:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

Rút gọn

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Triệt tiêu thừa số chung:

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

Triệt tiêu thừa số chung:

x + 1

= - 2

Rút gọn

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Áp dụng quy tắc

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Giải

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Mở rộng

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Mở rộng

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Áp dụng quy tắc

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Trừ các số:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

Giải bằng căn thức bậc hai

x^{2} - 3 = 0

Công thức phương trình bậc hai:

Với

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Áp dụng quy tắc

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

Nhân các số:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

Thêm các số:

0 + 12 = 12

= 12

Tìm thừa số nguyên tố của

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

chia cho

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

chia cho

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

là tất cả các số nguyên tố, do đó không thể tìm thừa số nữa

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Áp dụng quy tắc căn thức:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Áp dụng quy tắc căn thức:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Tách các lời giải

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

Chia các số:

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

Chia các số:

\frac{2}{2} = 1

= - 3

Các nghiệm của phương trình bậc hai là:

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

Xác minh lời giải

Tìm điểm không xác định (điểm kỳ dị):

x = 1, x = - 1

Lấy (các) mẫu số của

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

và so sánh với 0

Giải

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

x - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

x - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

x = 1

x = 1

Giải

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

x + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

x + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

x = - 1

x = - 1

Các điểm sau đây là không xác định

x = 1, x = - 1

Kết hợp các tọa độ chưa xác định với các lời giải:

x = 3, x = - 3

Giải

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

x - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

x - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

x = 1

x = 1

Giải

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

x + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

x + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

x = - 1

x = - 1

Các điểm sau đây là không xác định

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Kết hợp các tọa độ chưa xác định với các lời giải:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Xác minh các lời giải bằng cách thay chúng vào các phương trình ban đầu

Kiểm tra các lời giải bằng cách thay chúng vào

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Loại bỏ những lời giải không đúng với phương trình.

Kiểm tra lời giải

\frac{3 + 17}{2} :

Đúng

\frac{3 + 17}{2}

Thay

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

Thay

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

vào

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Tinh chỉnh

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Kiểm tra lời giải

\frac{3 - 17}{2} :

Đúng

\frac{3 - 17}{2}

Thay

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

Thay

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

vào

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Tinh chỉnh

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Đồ Thị

Ví dụ phổ biến

cot(3x)=-tan(-(2pi)/5)

cot (3 x) = - tan (- \frac{2 π}{5})

cos(x)= 60/61

cos (x) = \frac{60}{61}

cot(x)=sqrt(2)

cot (x) = 2

cos(θ)cot(θ)=-cos(θ)

cos (θ) cot (θ) = - cos (θ)

tan(x/2)=-1/(sqrt(3))

tan (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{3}