English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

arctan(1/(x-1))+arctan(2/(x+1))= pi/4

Решение

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Решение

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Шаги решения

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Перепишите используя тригонометрические тождества

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1})

Используйте тождество суммы к произведению:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}})

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

arctan (\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Используйте следующее тривиальное тождество:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

= 1

= 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Решить

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} = 1

Упростите

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}} : \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Перемножьте числа:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Присоединить

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

к одной дроби:

\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}

Наименьший Общий Множитель

x - 1, x + 1 : (x - 1) (x + 1)

x - 1, x + 1

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из факторов, которые появляются либо в

x - 1

либо

x + 1

= (x - 1) (x + 1)

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

(x - 1) (x + 1)

Для

\frac{1}{x - 1} :

умножить знаменатель и числитель на

x + 1

\frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Для

\frac{2}{x + 1} :

умножить знаменатель и числитель на

x - 1

\frac{2}{x + 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + 1 + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Расширить

x + 1 + 2 (x - 1) : 3 x - 1

x + 1 + 2 (x - 1)

Расширить

2 (x - 1) : 2 x - 2

2 (x - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = x, c = 1

= 2 x - 2 \cdot 1

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= 2 x - 2

= x + 1 + 2 x - 2

Упростить

x + 1 + 2 x - 2 : 3 x - 1

x + 1 + 2 x - 2

Сгруппируйте похожие слагаемые

= x + 2 x + 1 - 2

Добавьте похожие элементы:

x + 2 x = 3 x

= 3 x + 1 - 2

Прибавьте/Вычтите числа:

1 - 2 = - 1

= 3 x - 1

= 3 x - 1

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{\frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} )}

Присоединить

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

к одной дроби:

\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Умножьте:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Расширить

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Расширить

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Примените формулу разности двух квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Вычтите числа:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

= \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{3 x - 1}{\frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} ( x - 1 ) ( x + 1 )}

Умножьте

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) \frac{x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Отмените общий множитель:

x - 1

= \frac{( x ^{2} - 3 ) ( x + 1 )}{x + 1}

Отмените общий множитель:

x + 1

= x^{2} - 3

= \frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3}

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Умножьте обе части на

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} = 1

Умножьте обе части на

x^{2} - 3

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

После упрощения получаем

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) = 1 \cdot (x^{2} - 3)

Упростите

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3) : 3 x - 1

\frac{3 x - 1}{x ^{2} - 3} (x^{2} - 3)

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 3 x - 1 ) ( x ^{2} - 3 )}{x ^{2} - 3}

Отмените общий множитель:

x^{2} - 3

= 3 x - 1

Упростите

1 \cdot (x^{2} - 3) : x^{2} - 3

1 \cdot (x^{2} - 3)

Умножьте:

1 \cdot (x^{2} - 3) = (x^{2} - 3)

= (x^{2} - 3)

Уберите скобки:

(a) = a

= x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

3 x - 1 = x^{2} - 3

Решить

3 x - 1 = x^{2} - 3 : x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

3 x - 1 = x^{2} - 3

Поменяйте стороны

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Переместите

1

влево

x^{2} - 3 = 3 x - 1

Добавьте

1

к обеим сторонам

x^{2} - 3 + 1 = 3 x - 1 + 1

После упрощения получаем

x^{2} - 2 = 3 x

x^{2} - 2 = 3 x

Переместите

3 x

влево

x^{2} - 2 = 3 x

Вычтите

3 x

с обеих сторон

x^{2} - 2 - 3 x = 3 x - 3 x

После упрощения получаем

x^{2} - 2 - 3 x = 0

x^{2} - 2 - 3 x = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

x^{2} - 3 x - 2 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = - 3, c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 17

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Примените правило

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} + 8

3^{2} = 9

= 9 + 8

Добавьте числа:

9 + 8 = 17

= 17

x_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 17}{2 \cdot 1}

Разделите решения

x_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 17}{2 \cdot 1}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{3 + 17}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 17}{2}

x = \frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 17}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 17}{2 \cdot 1}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{3 - 17}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 17}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Возьмите знаменатель(и)

\frac{\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}}{1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}}

и сравните с нулем

Решить

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0 : x = 3, x = - 3

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} = 0

Упростите

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1} : - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

Умножьте дроби:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= - \frac{1 \cdot 2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Перемножьте числа:

1 \cdot 2 = 2

= - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Умножьте обе части на

(x - 1) (x + 1)

1 - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

Умножьте обе части на

(x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

После упрощения получаем

1 \cdot (x - 1) (x + 1) - \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) = 0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Упростите

1 \cdot (x - 1) (x + 1) : (x - 1) (x + 1)

1 \cdot (x - 1) (x + 1)

Умножьте:

1 \cdot (x - 1) = (x - 1)

= (x - 1) (x + 1)

Упростите

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1) : - 2

- \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} (x - 1) (x + 1)

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

Отмените общий множитель:

x - 1

= - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

Отмените общий множитель:

x + 1

= - 2

Упростите

0 \cdot (x - 1) (x + 1) : 0

0 \cdot (x - 1) (x + 1)

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Решить

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0 : x = 3, x = - 3

(x - 1) (x + 1) - 2 = 0

Расширьте

(x - 1) (x + 1) - 2 : x^{2} - 3

(x - 1) (x + 1) - 2

Расширить

(x - 1) (x + 1) : x^{2} - 1

(x - 1) (x + 1)

Примените формулу разности двух квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= x^{2} - 1 - 2

Вычтите числа:

- 1 - 2 = - 3

= x^{2} - 3

x^{2} - 3 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

x^{2} - 3 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = 0, c = - 3

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 23

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Примените правило

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)

Примените правило

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 0 + 12

Добавьте числа:

0 + 12 = 12

= 12

Первичное разложение на множители

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

делится на

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

делится на

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Примените правило радикалов:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Разделите решения

x_{1} = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- 0 + 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 + 23 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 3}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= 3

x = \frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 0 - 2 3}{2 \cdot 1}

- 0 - 23 = - 23

= \frac{- 2 3}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 3}{2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= - 3

Решением квадратного уравнения являются:

x = 3, x = - 3

x = 3, x = - 3

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

x = 1, x = - 1

Возьмите знаменатель(и)

1 - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{2}{x + 1}

и сравните с нулем

Решить

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Переместите

1

вправо

x - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

x - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

x = 1

x = 1

Решить

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Переместите

1

вправо

x + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

x + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

x = - 1

x = - 1

Следующие точки не определены

x = 1, x = - 1

Объедините неопределенные точки с решениями:

x = 3, x = - 3

Решить

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Переместите

1

вправо

x - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

x - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

x = 1

x = 1

Решить

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Переместите

1

вправо

x + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

x + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

x = - 1

x = - 1

Следующие точки не определены

x = 3, x = - 3, x = 1, x = - 1

Объедините неопределенные точки с решениями:

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

\frac{3 + 17}{2} :

Верно

\frac{3 + 17}{2}

Подставьте

n = 1

\frac{3 + 17}{2}

Для

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

подключите

x = \frac{3 + 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 + 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 + 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Уточнить

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

\frac{3 - 17}{2} :

Верно

\frac{3 - 17}{2}

Подставьте

n = 1

\frac{3 - 17}{2}

Для

arctan (\frac{1}{x - 1}) + arctan (\frac{2}{x + 1}) = \frac{π}{4}

подключите

x = \frac{3 - 17}{2}

arctan (\frac{1}{\frac{3 - 17}{2} - 1}) + arctan (\frac{2}{\frac{3 - 17}{2} + 1}) = \frac{π}{4}

Уточнить

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Верно

x = \frac{3 + 17}{2}, x = \frac{3 - 17}{2}

Решение

Решение

График

Популярные примеры