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Populaire Trigonométrie >

tan^2(x)+cot^2(x)-2=0

Solution

tan^{2} (x) + cot^{2} (x) - 2 = 0

Solution

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Degrés

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan^{2} (x) + cot^{2} (x) - 2 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 2 + cot^{2} (x) + tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 2 + cot^{2} (x) + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Résoudre par substitution

- 2 + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Soit :

cot (x) = u

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0 : u = 1, u = - 1

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

- 2 u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

- 2 u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplifier

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= 1

Simplifier

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

Résoudre

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0 : u = 1, u = - 1

- 2 u^{2} + u^{4} + 1 = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre

v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = 1

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Soustraire les nombres :

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1} = 1

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La solution de l'équation de forme quadratique est :

v = 1

v = 1

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Les solutions sont

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 2 + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}

et le comparer à zéro

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - 1

Remplacer

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = - 1

cot (x) = 1, cot (x) = - 1

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Solutions générales pour

cot (x) = 1

Tableau de périodicité

cot (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

cot (x) = - 1

Solutions générales pour

cot (x) = - 1

Tableau de périodicité

cot (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Graphe

Exemples populaires

(1+2cos(2x))^2=0

(1 + 2 cos (2 x))^{2} = 0

tan(2x)=0.6

tan (2 x) = 0.6

2sin(3θ)=-1

2 sin (3 θ) = - 1

cos((pi(x-7))/3)= 1/2

cos (\frac{π ( x - 7 )}{3}) = \frac{1}{2}

2cos(2x)+8cos(x)+5=0

2 cos (2 x) + 8 cos (x) + 5 = 0