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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)=sin(x-pi/4)

Lösung

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x) = sin (x - \frac{π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x - \frac{π}{4})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

Vereinfache

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4}) - cos (x) sin (\frac{π}{4})

sin (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) cos (\frac{π}{4})

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) sin (\frac{π}{4})

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x )}{2} - \frac{2 cos ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

= \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{2}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Streiche

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2} : \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

\frac{2 ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

= \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

cos (2 x) = \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Subtrahiere

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

von beiden Seiten

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} = 0

Vereinfache

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2} : \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

cos (2 x) - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 2}{2}

= \frac{cos ( 2 x ) 2}{2} - \frac{sin ( x ) - cos ( x )}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) 2 - ( sin ( x ) - cos ( x ) )}{2}

Multipliziere aus

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x)) : cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

cos (2 x) 2 - (sin (x) - cos (x))

= 2 cos (2 x) - (sin (x) - cos (x))

- (sin (x) - cos (x)) : - sin (x) + cos (x)

- (sin (x) - cos (x))

Setze Klammern

= - (sin (x)) - (- cos (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - sin (x) + cos (x)

= cos (2 x) 2 - sin (x) + cos (x)

= \frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2}

\frac{2 cos ( 2 x ) - sin ( x ) + cos ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 x) - sin (x) + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin (x) + cos (2 x) 2

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 = 0

Faktorisiere

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2 : (cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1)

cos (x) - sin (x) + (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) 2

Faktorisiere

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= cos (x) - sin (x) + 2 (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Schreibe um

= (cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x)) 2 + 1 \cdot (cos (x) - sin (x))

Klammere gleiche Terme aus

(cos (x) - sin (x))

= (cos (x) - sin (x)) ((cos (x) + sin (x)) 2 + 1)

(cos (x) - sin (x)) (2 (cos (x) + sin (x)) + 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) - sin (x) = 0 or 2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0 : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

2 (cos (x) + sin (x)) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 (cos (x) + sin (x)) + 1

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 22 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 22 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{7 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 6 : 12

4, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Für

\frac{7 π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{7 π}{6} = \frac{7 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{14 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{14 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 14 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π + 14 π = 11 π

= 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{19 π}{12}

\frac{11 π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{11 π}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 6 : 12

4, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Für

\frac{11 π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{11 π}{6} = \frac{11 π 2}{6 \cdot 2} = \frac{22 π}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{22 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + 22 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π + 22 π = 19 π

= 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn + \frac{11 π}{12}, x = 2 πn + \frac{19 π}{12}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x+60)+sin(x+30)=0,0<= x<= 2pi

sin (2 x + 60) + sin (x + 30) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(u)=1+sin(u)

2 sin^{2} (u) = 1 + sin (u)

cos(x)= 9/17

cos (x) = \frac{9}{17}

-6sin(c)+0=sin(c)-3

- 6 sin (c) + 0 = sin (c) - 3

tan(x)= 11/12

tan (x) = \frac{11}{12}