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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)+sec(2x)=11

Solution

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Solution

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Degrés

x = 42.37006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 137.62993 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

Soustraire

11

des deux côtés

cos (2 x) + sec (2 x) - 11 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 11 + cos (2 x) + sec (2 x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x)

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Résoudre par substitution

- 11 + \frac{1}{sec ( 2 x )} + sec (2 x) = 0

Soit :

sec (2 x) = u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 11 + \frac{1}{u} + u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplifier

- 11 u + \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplifier

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 1

Simplifier

uu : u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Résoudre

- 11 u + 1 + u^{2} = 0 : u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

- 11 u + 1 + u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} - 11 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 11, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm ( - 11 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 313

(- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 11)^{2} = 1 1^{2}

= 1 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 1^{2} - 4

1 1^{2} = 121

= 121 - 4

Soustraire les nombres :

121 - 4 = 117

= 117

Factorisation première de

117 : 3^{2} \cdot 13

117

117

divisée par

3117 = 39 \cdot 3

= 3 \cdot 39

39

divisée par

339 = 13 \cdot 3

= 3 \cdot 3 \cdot 13

3, 13

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 3 \cdot 3 \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

= 3^{2} \cdot 13

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 13 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 313

u_{1, 2} = \frac{- ( - 11 ) \pm 3 13}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 + 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) + 3 13}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{11 + 3 13}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 + 3 13}{2}

u = \frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1} : \frac{11 - 3 13}{2}

\frac{- ( - 11 ) - 3 13}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{11 - 3 13}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{11 - 3 13}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 11 + \frac{1}{u} + u

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = \frac{11 + 3 13}{2}, u = \frac{11 - 3 13}{2}

Remplacer

u = sec (2 x)

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}, sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2} : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

Solutions générales pour

sec (2 x) = \frac{11 + 3 13}{2}

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn, 2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Résoudre

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Résoudre

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn : x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = 2 π - arcsec (\frac{11 + 3 13}{2}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2} :

Aucune solution

sec (2 x) = \frac{11 - 3 13}{2}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn, x = π - \frac{arcsec ( \frac{11 + 3 13}{2} )}{2} + πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{1.47899 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.47899 \dots}{2} + πn

Graphe

Exemples populaires

5tan(x)-4=0

5 tan (x) - 4 = 0

3tan(x)sin(x)-2tan(x)=0

3 tan (x) sin (x) - 2 tan (x) = 0

csc^2(x)+3csc(x)-4=0

csc^{2} (x) + 3 csc (x) - 4 = 0

cos^2(φ)=sin^2(φ)

cos^{2} (φ) = sin^{2} (φ)

sin^2(x)-2cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0