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Beliebt Trigonometrie >

arcsin(x)+arcsin(2x)= pi/3

Lösung

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

Lösung

x = \frac{3}{2 7}

Schritte zur Lösung

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arcsin (x) + arcsin (2 x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arcsin (s) + arcsin (t) = arcsin (s 1 - t^{2} + t 1 - s^{2})

= arcsin (x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2})

arcsin (x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2}) = \frac{π}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arcsin (x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (x) = a \Rightarrow x = sin (a)

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = sin (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = \frac{3}{2}

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = \frac{3}{2}

Löse

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = \frac{3}{2} : x = \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

x 1 - (2 x)^{2} \cdot 2 + 2 x 1 - x^{2} \cdot 2 = \frac{3}{2} \cdot 2

Vereinfache

2 1 - (2 x)^{2} x + 4 1 - x^{2} x = 3

Quadratwurzeln entfernen

2 1 - (2 x)^{2} x + 4 1 - x^{2} x = 3

Subtrahiere

4 1 - x^{2} x

von beiden Seiten

2 1 - (2 x)^{2} x + 4 1 - x^{2} x - 4 1 - x^{2} x = 3 - 4 1 - x^{2} x

Vereinfache

2 1 - (2 x)^{2} x = 3 - 4 1 - x^{2} x

Quadriere beide Seiten:

4 x^{2} - 16 x^{4} = 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

2 1 - (2 x)^{2} x + 4 1 - x^{2} x = 3

(2 1 - (2 x)^{2} x)^{2} = (3 - 4 1 - x^{2} x)^{2}

Schreibe

(2 1 - (2 x)^{2} x)^{2}

um:

4 x^{2} - 16 x^{4}

(2 1 - (2 x)^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} x^{2} (1 - (2 x)^{2})^{2}

(1 - (2 x)^{2})^{2} : 1 - (2 x)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - (2 x)^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - (2 x)^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - (2 x)^{2}

= 2^{2} (1 - (2 x)^{2}) x^{2}

2^{2} = 4

= 4 (1 - (2 x)^{2}) x^{2}

Schreibe

4 (1 - (2 x)^{2}) x^{2}

um:

4 x^{2} - 16 x^{4}

4 (1 - (2 x)^{2}) x^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4 x^{2} (- 2^{2} x^{2} + 1)

2^{2} = 4

= 4 x^{2} (- 4 x^{2} + 1)

= 4 x^{2} (1 - 4 x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 x^{2}, b = 1, c = 4 x^{2}

= 4 x^{2} \cdot 1 - 4 x^{2} \cdot 4 x^{2}

= 4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 4 x^{2} x^{2}

Vereinfache

4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} : 4 x^{2} - 16 x^{4}

4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 4 x^{2} x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2} = 4 x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 x^{2}

4 \cdot 4 x^{2} x^{2} = 16 x^{4}

4 \cdot 4 x^{2} x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 = 16

= 16 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 16 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 16 x^{4}

= 4 x^{2} - 16 x^{4}

= 4 x^{2} - 16 x^{4}

= 4 x^{2} - 16 x^{4}

Schreibe

(3 - 4 1 - x^{2} x)^{2}

um:

3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

(3 - 4 1 - x^{2} x)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 3, b = 4 1 - x^{2} x

= (3)^{2} - 23 \cdot 4 1 - x^{2} x + (4 1 - x^{2} x)^{2}

Vereinfache

(3)^{2} - 23 \cdot 4 1 - x^{2} x + (4 1 - x^{2} x)^{2} : 3 - 83 1 - x^{2} x + 161 - x^{2} x^{2}

(3)^{2} - 23 \cdot 4 1 - x^{2} x + (4 1 - x^{2} x)^{2}

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

23 \cdot 4 1 - x^{2} x = 83 1 - x^{2} x

23 \cdot 4 1 - x^{2} x

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 83 1 - x^{2} x

(4 1 - x^{2} x)^{2} = 161 - x^{2} x^{2}

(4 1 - x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} x^{2} (1 - x^{2})^{2}

(1 - x^{2})^{2} : 1 - x^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - x^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - x^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - x^{2}

= 4^{2} (1 - x^{2}) x^{2}

4^{2} = 16

= 16 (1 - x^{2}) x^{2}

= 3 - 83 1 - x^{2} x + 16 (1 - x^{2}) x^{2}

= 3 - 83 1 - x^{2} x + 16 (1 - x^{2}) x^{2}

Schreibe

3 - 83 1 - x^{2} x + 16 (1 - x^{2}) x^{2}

um:

3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

3 - 83 1 - x^{2} x + 16 (1 - x^{2}) x^{2}

= 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} (1 - x^{2})

Multipliziere aus

16 x^{2} (1 - x^{2}) : 16 x^{2} - 16 x^{4}

16 x^{2} (1 - x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16 x^{2}, b = 1, c = x^{2}

= 16 x^{2} \cdot 1 - 16 x^{2} x^{2}

= 16 \cdot 1 \cdot x^{2} - 16 x^{2} x^{2}

Vereinfache

16 \cdot 1 \cdot x^{2} - 16 x^{2} x^{2} : 16 x^{2} - 16 x^{4}

16 \cdot 1 \cdot x^{2} - 16 x^{2} x^{2}

16 \cdot 1 \cdot x^{2} = 16 x^{2}

16 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 x^{2}

16 x^{2} x^{2} = 16 x^{4}

16 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 16 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 16 x^{4}

= 16 x^{2} - 16 x^{4}

= 16 x^{2} - 16 x^{4}

= 3 - 83 1 - x^{2} x + 16 x^{2} - 16 x^{4}

= 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

= 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

4 x^{2} - 16 x^{4} = 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

4 x^{2} - 16 x^{4} = 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

Subtrahiere

16 x^{2} - 16 x^{4}

von beiden Seiten

4 x^{2} - 16 x^{4} - (16 x^{2} - 16 x^{4}) = 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4} - (16 x^{2} - 16 x^{4})

Vereinfache

- 12 x^{2} = - 83 1 - x^{2} x + 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

- 12 x^{2} - 3 = - 83 1 - x^{2} x + 3 - 3

Vereinfache

- 12 x^{2} - 3 = - 83 1 - x^{2} x

Quadriere beide Seiten:

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

4 x^{2} - 16 x^{4} = 3 - 83 x 1 - x^{2} + 16 x^{2} - 16 x^{4}

(- 12 x^{2} - 3)^{2} = (- 83 1 - x^{2} x)^{2}

Schreibe

(- 12 x^{2} - 3)^{2}

um:

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9

(- 12 x^{2} - 3)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = - 12 x^{2}, b = 3

= (- 12 x^{2})^{2} - 2 (- 12 x^{2}) \cdot 3 + 3^{2}

Vereinfache

(- 12 x^{2})^{2} - 2 (- 12 x^{2}) \cdot 3 + 3^{2} : 144 x^{4} + 72 x^{2} + 9

(- 12 x^{2})^{2} - 2 (- 12 x^{2}) \cdot 3 + 3^{2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 12 x^{2})^{2} + 2 \cdot 12 x^{2} \cdot 3 + 3^{2}

(- 12 x^{2})^{2} = 144 x^{4}

(- 12 x^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 12 x^{2})^{2} = (12 x^{2})^{2}

= (12 x^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 1 2^{2} (x^{2})^{2}

(x^{2})^{2} : x^{4}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= x^{4}

= 1 2^{2} x^{4}

1 2^{2} = 144

= 144 x^{4}

2 \cdot 12 x^{2} \cdot 3 = 72 x^{2}

2 \cdot 12 x^{2} \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 \cdot 3 = 72

= 72 x^{2}

3^{2} = 9

3^{2}

3^{2} = 9

= 9

= 144 x^{4} + 72 x^{2} + 9

= 144 x^{4} + 72 x^{2} + 9

Schreibe

(- 83 1 - x^{2} x)^{2}

um:

192 x^{2} - 192 x^{4}

(- 83 1 - x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 83 1 - x^{2} x)^{2} = (83 1 - x^{2} x)^{2}

= (83 1 - x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (3)^{2} x^{2} (1 - x^{2})^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 8^{2} \cdot 3 (1 - x^{2})^{2} x^{2}

(1 - x^{2})^{2} : 1 - x^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - x^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - x^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - x^{2}

= 8^{2} \cdot 3 (1 - x^{2}) x^{2}

Fasse zusammen

= 192 (1 - x^{2}) x^{2}

Schreibe

192 (1 - x^{2}) x^{2}

um:

192 x^{2} - 192 x^{4}

192 (1 - x^{2}) x^{2}

= 192 x^{2} (1 - x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 192 x^{2}, b = 1, c = x^{2}

= 192 x^{2} \cdot 1 - 192 x^{2} x^{2}

= 192 \cdot 1 \cdot x^{2} - 192 x^{2} x^{2}

Vereinfache

192 \cdot 1 \cdot x^{2} - 192 x^{2} x^{2} : 192 x^{2} - 192 x^{4}

192 \cdot 1 \cdot x^{2} - 192 x^{2} x^{2}

192 \cdot 1 \cdot x^{2} = 192 x^{2}

192 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

192 \cdot 1 = 192

= 192 x^{2}

192 x^{2} x^{2} = 192 x^{4}

192 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 192 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 192 x^{4}

= 192 x^{2} - 192 x^{4}

= 192 x^{2} - 192 x^{4}

= 192 x^{2} - 192 x^{4}

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

Löse

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4} : x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

Verschiebe

192 x^{4}

auf die linke Seite

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2} - 192 x^{4}

Füge

192 x^{4}

zu beiden Seiten hinzu

144 x^{4} + 72 x^{2} + 9 + 192 x^{4} = 192 x^{2} - 192 x^{4} + 192 x^{4}

Vereinfache

336 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2}

336 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2}

Verschiebe

192 x^{2}

auf die linke Seite

336 x^{4} + 72 x^{2} + 9 = 192 x^{2}

Subtrahiere

192 x^{2}

von beiden Seiten

336 x^{4} + 72 x^{2} + 9 - 192 x^{2} = 192 x^{2} - 192 x^{2}

Vereinfache

336 x^{4} - 120 x^{2} + 9 = 0

336 x^{4} - 120 x^{2} + 9 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = x^{2}

und

u^{2} = x^{4}

336 u^{2} - 120 u + 9 = 0

Löse

336 u^{2} - 120 u + 9 = 0 : u = \frac{1}{4}, u = \frac{3}{28}

336 u^{2} - 120 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

336 u^{2} - 120 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 336, b = - 120, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 120 ) \pm ( - 120 ) ^{2} - 4 \cdot 336 \cdot 9}{2 \cdot 336}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 120 ) \pm ( - 120 ) ^{2} - 4 \cdot 336 \cdot 9}{2 \cdot 336}

(- 120)^{2} - 4 \cdot 336 \cdot 9 = 48

(- 120)^{2} - 4 \cdot 336 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 120)^{2} = 12 0^{2}

= 12 0^{2} - 4 \cdot 336 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 336 \cdot 9 = 12096

= 12 0^{2} - 12096

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 12096

Subtrahiere die Zahlen:

14400 - 12096 = 2304

= 2304

Faktorisiere die Zahl:

2304 = 4 8^{2}

= 4 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

4 8^{2} = 48

= 48

u_{1, 2} = \frac{- ( - 120 ) \pm 48}{2 \cdot 336}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 120 ) + 48}{2 \cdot 336}, u_{2} = \frac{- ( - 120 ) - 48}{2 \cdot 336}

u = \frac{- ( - 120 ) + 48}{2 \cdot 336} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 120 ) + 48}{2 \cdot 336}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{120 + 48}{2 \cdot 336}

Addiere die Zahlen:

120 + 48 = 168

= \frac{168}{2 \cdot 336}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 336 = 672

= \frac{168}{672}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

168

= \frac{1}{4}

u = \frac{- ( - 120 ) - 48}{2 \cdot 336} : \frac{3}{28}

\frac{- ( - 120 ) - 48}{2 \cdot 336}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{120 - 48}{2 \cdot 336}

Subtrahiere die Zahlen:

120 - 48 = 72

= \frac{72}{2 \cdot 336}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 336 = 672

= \frac{72}{672}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

24

= \frac{3}{28}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = \frac{3}{28}

u = \frac{1}{4}, u = \frac{3}{28}

Setze

u = x^{2} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

x^{2} = \frac{1}{4} : x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

x^{2} = \frac{1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{4}, x = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}

Löse

x^{2} = \frac{3}{28} : x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

x^{2} = \frac{3}{28}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{3}{28}, x = - \frac{3}{28}

\frac{3}{28} = \frac{3}{2 7}

\frac{3}{28}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 7 = 2^{2} 7

= 2^{2} 7

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 27

= \frac{3}{2 7}

- \frac{3}{28} = - \frac{3}{2 7}

- \frac{3}{28}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{3}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 7 = 2^{2} 7

= 2^{2} 7

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 27

= - \frac{3}{2 7}

x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

Die Lösungen sind

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

x = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

Überprüfe die Lösungen:

x = \frac{1}{2}

Wahr

, x = - \frac{1}{2}

Falsch

, x = \frac{3}{2 7}

Wahr

, x = - \frac{3}{2 7}

Falsch

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

x 1 - (2 x)^{2} + 2 x 1 - x^{2} = \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

x = \frac{1}{2} :

Wahr

(\frac{1}{2}) 1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2} + 2 (\frac{1}{2}) 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

(\frac{1}{2}) 1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2} + 2 (\frac{1}{2}) 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

(\frac{1}{2}) 1 - (2 (\frac{1}{2}))^{2} + 2 (\frac{1}{2}) 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{1}{2} 1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2}

\frac{1}{2} 1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 0

\frac{1}{2} 1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

(2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 1

(2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

= 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= 0

Wende Regel an

0 = 0

= 0

= 0 \cdot \frac{1}{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2})^{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= 1 - \frac{1}{4}

Füge

1 - \frac{1}{4}

zusammen:

\frac{3}{4}

1 - \frac{1}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

= \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

= 1 \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= 0 + \frac{3}{2}

0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Setze ein

x = - \frac{1}{2} :

Falsch

(- \frac{1}{2}) 1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) 1 - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

(- \frac{1}{2}) 1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) 1 - (- \frac{1}{2})^{2} = - \frac{3}{2}

(- \frac{1}{2}) 1 - (2 (- \frac{1}{2}))^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) 1 - (- \frac{1}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - \frac{1}{2} 1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (- \frac{1}{2})^{2}

\frac{1}{2} 1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 0

\frac{1}{2} 1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

(- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2} = 1

(- 2 \cdot \frac{1}{2})^{2}

Multipliziere

- 2 \cdot \frac{1}{2} : - 1

- 2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 1

= (- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

= 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= 0

Wende Regel an

0 = 0

= 0

= 0 \cdot \frac{1}{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} 1 - (- \frac{1}{2})^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1 \cdot 1 - (- \frac{1}{2})^{2}

1 - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{2}

1 - (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(- \frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= 1 - \frac{1}{4}

Füge

1 - \frac{1}{4}

zusammen:

\frac{3}{4}

1 - \frac{1}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

= \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

= 1 \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= - 0 - \frac{3}{2}

- 0 - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Falsch

Setze ein

x = \frac{3}{2 7} :

Wahr

(\frac{3}{2 7}) 1 - (2 (\frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{2}

(\frac{3}{2 7}) 1 - (2 (\frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{2}

(\frac{3}{2 7}) 1 - (2 (\frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{3}{2 7} 1 - (2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} + 2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

\frac{3}{2 7} 1 - (2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{7}

\frac{3}{2 7} 1 - (2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{2}{7}

1 - (2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

(2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{7}

(2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere

2 \cdot \frac{3}{2 7} : \frac{3}{7}

2 \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2}{2 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{7}

= (\frac{3}{7})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{3}{7})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{7})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{3}{7}

= 1 - \frac{3}{7}

Füge

1 - \frac{3}{7}

zusammen:

\frac{4}{7}

1 - \frac{3}{7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 7}{7}

= \frac{1 \cdot 7}{7} - \frac{3}{7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 7 - 3}{7}

1 \cdot 7 - 3 = 4

1 \cdot 7 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= 7 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 3 = 4

= 4

= \frac{4}{7}

= \frac{4}{7}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{7}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{7}

= \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 2}{2 7 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{7 7}

77 = 7

77

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 7

= \frac{3}{7}

2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5 3}{14}

2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2 1 - ( \frac{3}{2 7} ) ^{2}}{2 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 1 - ( \frac{3}{2 7} ) ^{2}}{7}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5}{2 7}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

(\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

(\frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= 1 - \frac{3}{28}

Füge

1 - \frac{3}{28}

zusammen:

\frac{25}{28}

1 - \frac{3}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{3}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 3}{28}

1 \cdot 28 - 3 = 25

1 \cdot 28 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 3 = 25

= 25

= \frac{25}{28}

= \frac{25}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{25}{2 7}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 7}

= \frac{3 \frac{5}{2 7}}{7}

Multipliziere

3 \frac{5}{2 7} : \frac{5 3}{2 7}

3 \frac{5}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 3}{2 7}

= \frac{\frac{5 3}{2 7}}{7}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 3}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{5 3}{14}

= \frac{3}{7} + \frac{5 3}{14}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

7, 14 : 14

7, 14

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

7 : 7

7

7

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 7

Primfaktorzerlegung von

14 : 2 \cdot 7

14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 7

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

7

oder

14

vorkommt

= 7 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= 14

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

14

Für

\frac{3}{7} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 2}{14}

= \frac{3 \cdot 2}{14} + \frac{5 3}{14}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 \cdot 2 + 5 3}{14}

Addiere gleiche Elemente:

23 + 53 = 73

= \frac{7 3}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= \frac{3}{2}

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Setze ein

x = - \frac{3}{2 7} :

Falsch

(- \frac{3}{2 7}) 1 - (2 (- \frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{2}

(- \frac{3}{2 7}) 1 - (2 (- \frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = - \frac{3}{2}

(- \frac{3}{2 7}) 1 - (2 (- \frac{3}{2 7}))^{2} + 2 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - \frac{3}{2 7} 1 - (- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

\frac{3}{2 7} 1 - (- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{7}

\frac{3}{2 7} 1 - (- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{2}{7}

1 - (- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

(- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{7}

(- 2 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere

- 2 \cdot \frac{3}{2 7} : - \frac{3}{7}

- 2 \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 \cdot 2}{2 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{7}

= (- \frac{3}{7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{7})^{2} = (\frac{3}{7})^{2}

= (\frac{3}{7})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{3}{7})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{7})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{3}{7}

= 1 - \frac{3}{7}

Füge

1 - \frac{3}{7}

zusammen:

\frac{4}{7}

1 - \frac{3}{7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 7}{7}

= \frac{1 \cdot 7}{7} - \frac{3}{7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 7 - 3}{7}

1 \cdot 7 - 3 = 4

1 \cdot 7 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= 7 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 3 = 4

= 4

= \frac{4}{7}

= \frac{4}{7}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4}{7}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2}{7}

= \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 2}{2 7 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{7 7}

77 = 7

77

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 7

= \frac{3}{7}

2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5 3}{14}

2 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2 1 - ( - \frac{3}{2 7} ) ^{2}}{2 7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 1 - ( - \frac{3}{2 7} ) ^{2}}{7}

3 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = 3 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

3 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{2 7})^{2} = (\frac{3}{2 7})^{2}

= 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

= 3 - (\frac{3}{2 7})^{2} + 1

= \frac{3 - ( \frac{3}{2 7} ) ^{2} + 1}{7}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5}{2 7}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

(\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

(\frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= 1 - \frac{3}{28}

Füge

1 - \frac{3}{28}

zusammen:

\frac{25}{28}

1 - \frac{3}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{3}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 3}{28}

1 \cdot 28 - 3 = 25

1 \cdot 28 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 3 = 25

= 25

= \frac{25}{28}

= \frac{25}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{25}{2 7}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 7}

= \frac{3 \frac{5}{2 7}}{7}

Multipliziere

3 \frac{5}{2 7} : \frac{5 3}{2 7}

3 \frac{5}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 3}{2 7}

= \frac{\frac{5 3}{2 7}}{7}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 3}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{5 3}{14}

= - \frac{3}{7} - \frac{5 3}{14}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

7, 14 : 14

7, 14

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

7 : 7

7

7

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 7

Primfaktorzerlegung von

14 : 2 \cdot 7

14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 7

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

7

oder

14

vorkommt

= 7 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= 14

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

14

Für

\frac{3}{7} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 2}{14}

= - \frac{3 \cdot 2}{14} - \frac{5 3}{14}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 \cdot 2 - 5 3}{14}

Addiere gleiche Elemente:

- 23 - 53 = - 73

= \frac{- 7 3}{14}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 3}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= - \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Falsch

Die Lösungen sind

x = \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}

x = \frac{1}{2}, x = \frac{3}{2 7}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{1}{2} :

Falsch

\frac{1}{2}

Setze ein

n = 1

\frac{1}{2}

Setze

x = \frac{1}{2}

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

ein, um zu lösen

arcsin (\frac{1}{2}) + arcsin (2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

Fasse zusammen

2.09439 \dots = 1.04719 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3}{2 7} :

Wahr

\frac{3}{2 7}

Setze ein

n = 1

\frac{3}{2 7}

Setze

x = \frac{3}{2 7}

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

ein, um zu lösen

arcsin (\frac{3}{2 7}) + arcsin (2 \cdot \frac{3}{2 7}) = \frac{π}{3}

Fasse zusammen

1.04719 \dots = 1.04719 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{3}{2 7}

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2x)= 4/3

tan (2 x) = \frac{4}{3}

cos(x)-sqrt(1-3cos^2(x))=0

cos (x) - 1 - 3 cos^{2} (x) = 0

arctan(2x-3)= pi/4

arctan (2 x - 3) = \frac{π}{4}

cos(x)=-0,5

cos (x) = - 0, 5

tan(2x)+2cos(x)=0,0<= x<= 2pi

tan (2 x) + 2 cos (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π