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Popular Trigonometria >

5sin(θ)-5cos(θ)=2

Solução

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

Solução

θ = - 2.64295 \dots + 2 πn, θ = 1.07215 \dots + 2 πn

Graus

θ = - 151.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 61.42994 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

Adicionar

5 cos (θ)

a ambos os lados

5 sin (θ) = 2 + 5 cos (θ)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(5 sin (θ))^{2} = (2 + 5 cos (θ))^{2}

Subtrair

(2 + 5 cos (θ))^{2}

de ambos os lados

25 sin^{2} (θ) - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 sin^{2} (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ)) : - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

25 (1 - cos^{2} (θ)) : 25 - 25 cos^{2} (θ)

25 (1 - cos^{2} (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (θ)

Multiplicar os números:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (θ)

= - 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ) : - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

- 4 - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) + 25 - 25 cos^{2} (θ)

Agrupar termos semelhantes

= - 20 cos (θ) - 25 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) - 4 + 25

Somar elementos similares:

- 25 cos^{2} (θ) - 25 cos^{2} (θ) = - 50 cos^{2} (θ)

= - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) - 4 + 25

Somar/subtrair:

- 4 + 25 = 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

= - 50 cos^{2} (θ) - 20 cos (θ) + 21

21 - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) = 0

Usando o método de substituição

21 - 20 cos (θ) - 50 cos^{2} (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

21 - 20 u - 50 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 50 u^{2} - 20 u + 21 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 50, b = - 20, c = 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm ( - 20 ) ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 21}{2 ( - 50 )}

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21 = 1046

(- 20)^{2} - 4 (- 50) \cdot 21

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 20)^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 21

Multiplicar os números:

4 \cdot 50 \cdot 21 = 4200

= 2 0^{2} + 4200

2 0^{2} = 400

= 400 + 4200

Somar:

400 + 4200 = 4600

= 4600

Decomposição em fatores primos de

4600 : 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

4600

4600

dividida por

24600 = 2300 \cdot 2

= 2 \cdot 2300

2300

dividida por

22300 = 1150 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1150

1150

dividida por

21150 = 575 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 575

575

dividida por

5575 = 115 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 115

115

dividida por

5115 = 23 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

2, 5, 23

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

= 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 23

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2 \cdot 23

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5^{2} 2 \cdot 23

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5^{2} 2 \cdot 23

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 5 2 \cdot 23

Simplificar

= 1046

u_{1, 2} = \frac{- ( - 20 ) \pm 10 46}{2 ( - 50 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}, u_{2} = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

u = \frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )} : - \frac{2 + 46}{10}

\frac{- ( - 20 ) + 10 46}{2 ( - 50 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 + 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multiplicar os números:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 + 10 46}{- 100}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20 + 10 46}{100}

Cancelar

\frac{20 + 10 46}{100} : \frac{2 + 46}{10}

\frac{20 + 10 46}{100}

Fatorar

20 + 1046 : 10 (2 + 46)

20 + 1046

Reescrever como

= 10 \cdot 2 + 1046

Fatorar o termo comum

10

= 10 (2 + 46)

= \frac{10 ( 2 + 46 )}{100}

Eliminar o fator comum:

10

= \frac{2 + 46}{10}

= - \frac{2 + 46}{10}

u = \frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )} : \frac{46 - 2}{10}

\frac{- ( - 20 ) - 10 46}{2 ( - 50 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{20 - 10 46}{- 2 \cdot 50}

Multiplicar os números:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{20 - 10 46}{- 100}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

20 - 1046 = - (1046 - 20)

= \frac{10 46 - 20}{100}

Fatorar

1046 - 20 : 10 (46 - 2)

1046 - 20

Reescrever como

= 1046 - 10 \cdot 2

Fatorar o termo comum

10

= 10 (46 - 2)

= \frac{10 ( 46 - 2 )}{100}

Eliminar o fator comum:

10

= \frac{46 - 2}{10}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{2 + 46}{10}, u = \frac{46 - 2}{10}

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}, cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10} : θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

Soluções gerais para

cos (θ) = - \frac{2 + 46}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10} : θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

Soluções gerais para

cos (θ) = \frac{46 - 2}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Para

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

inserir

θ = arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

Para

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

inserir

θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1

5 sin (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Para

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

inserir

θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

Para

5 sin (θ) - 5 cos (θ) = 2

inserir

θ = 2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1

5 sin (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) - 5 cos (2 π - arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

- 6.78232 \dots = 2

\Rightarrow Falso

θ = - arccos (- \frac{2 + 46}{10}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{46 - 2}{10}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

θ = - 2.64295 \dots + 2 πn, θ = 1.07215 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2cos(t)=sqrt(3)

2 cos (t) = 3

5sin(x)=sin(x)

5 sin (x) = sin (x)

sin(3x)=3sin(x)

sin (3 x) = 3 sin (x)

arcsin(x)+arcsin(2x)= pi/3

arcsin (x) + arcsin (2 x) = \frac{π}{3}

tan(2x)= 4/3

tan (2 x) = \frac{4}{3}