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Beliebt Trigonometrie >

3cos(x)=2-sin(x)

Lösung

3 cos (x) = 2 - sin (x)

Lösung

x = - 0.56432 \dots + 2 πn, x = 1.20782 \dots + 2 πn

Grad

x = - 32.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 69.20342 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (x) = 2 - sin (x)

Quadriere beide Seiten

(3 cos (x))^{2} = (2 - sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 - sin (x))^{2}

von beiden Seiten

9 cos^{2} (x) - 4 + 4 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

- 4 - sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) + 4 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 4 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 10 sin^{2} (x)

= - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) - 4 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 9 = 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

= 4 sin (x) - 10 sin^{2} (x) + 5

5 - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

5 - 10 sin^{2} (x) + 4 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = \frac{2 + 3 6}{10}

5 - 10 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 4 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 4 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 4, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

4^{2} - 4 (- 10) \cdot 5 = 66

4^{2} - 4 (- 10) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Addiere die Zahlen:

16 + 200 = 216

= 216

Primfaktorzerlegung von

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )} : - \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 6 6}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 6 6}{20}

Streiche

\frac{- 4 + 6 6}{20} : \frac{3 6 - 2}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{20}

Faktorisiere

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

= - \frac{3 6 - 2}{10}

= - \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )} : \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 6 6}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 66 = - (4 + 66)

= \frac{4 + 6 6}{20}

Faktorisiere

4 + 66 : 2 (2 + 36)

4 + 66

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 36)

= \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 + 3 6}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = \frac{2 + 3 6}{10}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10} : x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{- 2 + 3 6}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10} : x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cos (x) = 2 - sin (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (x) = 2 - sin (x)

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

2.53484 \dots = 2.53484 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (x) = 2 - sin (x)

ein, um zu lösen

3 cos (π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (π + arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 2.53484 \dots = 2.53484 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (x) = 2 - sin (x)

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.06515 \dots = 1.06515 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1

3 cos (x) = 2 - sin (x)

ein, um zu lösen

3 cos (π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1) = 2 - sin (π - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.06515 \dots = 1.06515 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.56432 \dots + 2 πn, x = 1.20782 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)=2-3sin(x)

cos (2 x) = 2 - 3 sin (x)

arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

arcsin (x) + arcsin (1 - x) = arccos (x)

3cos^2(x)+1=4sin(x)

3 cos^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

[2sin(4x)-1]*[1+tan(x)]=0

[2 sin (4 x) - 1] \cdot [1 + tan (x)] = 0

cos^2(x)=2cos(x)

cos^{2} (x) = 2 cos (x)