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Popolare Trigonometria >

0<= 2sin(3x)+1<2pi

Soluzione

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 < 2 π

Soluzione

- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

Notazione dell’intervallo

[- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n, \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n]

Decimale

- 0.17453 \dots + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq 1.22173 \dots + \frac{2 π}{3} n

Fasi della soluzione

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 < 2 π

a \leq u < b

allora

a \leq u and u < b

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 and 2 sin (3 x) + 1 < 2 π

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 : - \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

0 \leq 2 sin (3 x) + 1

Scambia i lati

2 sin (3 x) + 1 \geq 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 sin (3 x) + 1 \geq 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 sin (3 x) + 1 - 1 \geq 0 - 1

Semplificare

2 sin (3 x) \geq - 1

2 sin (3 x) \geq - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (3 x) \geq - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( 3 x )}{2} \geq \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (3 x) \geq - \frac{1}{2}

sin (3 x) \geq - \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x and 3 x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x : x \geq - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 3 x

Scambia i lati

3 x \geq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

3 x \geq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x \geq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} \geq - \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} \geq - \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= x

Semplificare

- \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3} : - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

- \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{6}}{3} = \frac{π}{18}

\frac{\frac{π}{6}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{π}{18}

= - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

x \geq - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

3 x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

3 x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : π + \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Applicare la regola

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6} + 2 πn

3 x \leq π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x \leq π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} \leq \frac{π}{3} + \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} \leq \frac{π}{3} + \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= x

Semplificare

\frac{π}{3} + \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3} : \frac{π}{3} + \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

\frac{π}{3} + \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{2 πn}{3}

\frac{\frac{π}{6}}{3} = \frac{π}{18}

\frac{\frac{π}{6}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{π}{18}

= \frac{π}{3} + \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{π}{3} + \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

x \leq \frac{π}{3} + \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3}

Semplificare

\frac{π}{3} + \frac{π}{18} : \frac{7 π}{18}

\frac{π}{3} + \frac{π}{18}

Minimo Comune Multiplo di

3, 18 : 18

3, 18

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

18 : 2 \cdot 3 \cdot 3

18

18

diviso per

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 18

= 3 \cdot 3 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 3 \cdot 2 = 18

= 18

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

18

Per

\frac{π}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

\frac{π}{3} = \frac{π 6}{3 \cdot 6} = \frac{π 6}{18}

= \frac{π 6}{18} + \frac{π}{18}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{18}

Aggiungi elementi simili:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{18}

x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

Combina gli intervalli

x \geq - \frac{π}{18} + \frac{2 πn}{3} and x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

2 sin (3 x) + 1 < 2 π :

Vero per tutti

x \in R

2 sin (3 x) + 1 < 2 π

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 sin (3 x) + 1 < 2 π

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 sin (3 x) + 1 - 1 < 2 π - 1

Semplificare

2 sin (3 x) < 2 π - 1

2 sin (3 x) < 2 π - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (3 x) < 2 π - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( 3 x )}{2} < \frac{2 π}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( 3 x )}{2} < \frac{2 π}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( 3 x )}{2} : sin (3 x)

\frac{2 sin ( 3 x )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= sin (3 x)

Semplificare

\frac{2 π}{2} - \frac{1}{2} : \frac{2 π - 1}{2}

\frac{2 π}{2} - \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π - 1}{2}

sin (3 x) < \frac{2 π - 1}{2}

sin (3 x) < \frac{2 π - 1}{2}

sin (3 x) < \frac{2 π - 1}{2}

Intervallo di

sin (3 x) : - 1 \leq sin (3 x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (3 x) \leq 1

- 1 \leq sin (3 x) \leq 1

sin (3 x) < \frac{2 π - 1}{2} and - 1 \leq sin (3 x) \leq 1 : - 1 \leq sin (3 x) \leq 1

Lasciare

y = sin (3 x)

Combina gli intervalli

y < \frac{2 π - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < \frac{2 π - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < \frac{2 π - 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{7 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

Esempi popolari

tan(-pi/4)<= tan(a/2)<= tan(pi/4)

tan (- \frac{π}{4}) \leq tan (\frac{a}{2}) \leq tan (\frac{π}{4})

sqrt((1+cos(θ))^2+(sin(θ))^2)0<= θ<= 2pi

(1 + cos (θ))^{2} + (sin (θ))^{2} 0 \leq θ \leq 2 π

0<sin(x+pi/3)<2pi

0 < sin (x + \frac{π}{3}) < 2 π

-pi/2 <arctan(x)< pi/2

- \frac{π}{2} < arctan (x) < \frac{π}{2}

0<sin(2x)<2sqrt(2)

0 < sin (2 x) < 22