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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)<sin(x)<1

Lösung

cos (x) < sin (x) < 1

Lösung

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn)

Dezimale

0.78539 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos (x) < sin (x) < 1

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

cos (x) < sin (x) and sin (x) < 1

cos (x) < sin (x) : \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) < sin (x)

Verschiebe

sin (x)

auf die linke Seite

cos (x) < sin (x)

Subtrahiere

sin (x)

von beiden Seiten

cos (x) - sin (x) < sin (x) - sin (x)

cos (x) - sin (x) < 0

cos (x) - sin (x) < 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) - sin (x) = 2 cos (\frac{π}{4} + x)

2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( \frac{π}{4} + x )}{2} < \frac{0}{2}

Vereinfache

cos (\frac{π}{4} + x) < 0

cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < (\frac{π}{4} + x) < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x and \frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x : x > 2 πn + \frac{π}{4}

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x

Tausche die Seiten

\frac{π}{4} + x > arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x > \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

\frac{π}{4} + x > \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} > 0

= x

Vereinfache

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn : x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

2 π - arccos (0) + 2 πn : 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

2 π - arccos (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

\frac{π}{4} + x < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} < 0

= x

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

Vereinfache

2 π - \frac{3 π}{4} : \frac{5 π}{4}

2 π - \frac{3 π}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Addiere gleiche Elemente:

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

x > 2 πn + \frac{π}{4} and x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

Vereinfache

- π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

Vereinfache

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(a-pi/2)*csc(2pi+a)90<= a<= 180

sin (a - \frac{π}{2}) \cdot csc (2 π + a) 9 0^{\circ} \leq a \leq 18 0^{\circ}

arcsec(-sqrt(2))0<= x<= 2pi

arcsec (- 2) 0 \leq x \leq 2 π

-1<sin(pix)<1

- 1 < sin (π x) < 1

cos(θ)=25\land tan(θ)<0

cos (θ) = 25 and tan (θ) < 0

cos(x)>0\land tan(x)>0

cos (x) > 0 and tan (x) > 0