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Beliebt Trigonometrie >

(cos(x))/(1+cos(2x))<0

Lösung

\frac{cos ( x )}{1 + cos ( 2 x )} < 0

Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

1.57079 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( x )}{1 + cos ( 2 x )} < 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} < 0

Periodizität von

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} : 2 π

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π :

Keine Lösung für

x \in R

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

1 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= 1 + cos (2 x)

1 + cos (2 x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (2 x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (2 x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (2 x) = - 1

cos (2 x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (2 x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = π + 2 πn

2 x = π + 2 πn

Löse

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) 1 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) \frac{c o s ( x )}{1 + c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} 00 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} - + - x = \frac{3 π}{2} 00 Unbestimmt \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

Verwende die Periodizität von

\frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

(tan(x)-tan^2(x))/(2sin(x)-1)<0

\frac{tan ( x ) - tan ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) - 1} < 0

sin(x)-cos(x)>1

sin (x) - cos (x) > 1

sin(y)>0

sin (y) > 0

2sin(x)+1>= 0

2 sin (x) + 1 \geq 0

cos^2(x)> 5/6

cos^{2} (x) > \frac{5}{6}